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n2h2?0rn? , n?1 , 2 , 3 , ? 2mee?由此可以导出氢原子的能级公式：
1e21mee42En?mevn???222
24??0rnn8h?0基态的能量为E1??13.6eV。这就意味着要使处于基态的氢原子电离，扰动的能量至少是E??E1?13.6eV。根据
量子跃迁的概念，从En到Em跃迁所发出的谱线的频率为：
hvmnmee4?11??22?2?2? 8h?0?mn?mee4R?32
8hc?0与巴耳末公式比较可以得到里德伯常数的理论公式：
理论计算值与实验结果符合得很好。
玻尔理论对当时已发现的氢原子光谱线系的规律给出了很好的说明，包括可见光范围内的巴耳末线系，红外区域中的帕邢线系，并且预言在紫外区还有一个线系。1914年，这个线系被赖曼观测到，称为赖曼线系，定量上与理论计算相当符合。原子能量不连续性的概念也在1914年被夫兰克(P Franck)与赫兹直接从实验上证实。
玻尔理论虽然成功地说明了氢原子光谱的规律，但是，对于复杂原子的光谱，玻尔理论遇到了极大的困难。即使对于简单的原子，玻尔理论也只是提出了计算光谱线频率的规则，对谱线的强度无能为力。此外，玻尔理论只能处理简单的周期运动问题，不能解决非束缚态问题。从理论上看，玻尔的量子化条件与经典力学不相容，带有人为的性质，只是把能量的不连续性问题转化为角动量的不连续性，并末从根本上解决不连续性的本质。
量子力学正是在克服这些困难中逐步建立起来的。今天玻尔理论已经被量子力学所代替，但是，这个理论在历史上曾经起过重大的推动作用。而且，这个理论的某些核心思想
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至今仍然是正确的，并且在量于力学中被保留下来。
量子力学是在1923－1927年间建立起来的。两个等价的理论——矩阵力学与波动力学几乎同时提出。
矩阵力学是在对玻尔的旧量子论的批判中产生的，其基本观点是：物理理论只应讨论物理上可观测的物理量。它继承了旧量子论中关于分立能级、定态、量子跃迁和频率条件等合理的内核，摒弃了速度和轨道等没有实验根据的概念。
玻尔的量子论引用了一整套没有实验根据的概念，比如说，没有任何实验支持我们肯定电子有完全确切的轨道。要肯定电子确实沿着某条轨道运动，就必须不断对电子的位置进行测量，但是，测量的精度要受到用来对其进行跟踪的光的波长的限制。当测量的精度要求很高时，必须使用波长很短的X射线跟踪电子。但是，由康普顿散射可知，当X射线的光子与电子相互作用时，伴随着有动量转移，这就对电子的运动产生了扰动。要求位置测量得越精确，使用的X射线的波长就必须越短，给电子的扰动就越大，电子就不可能维持原来的运动状态。因此，无限精确地跟踪一个电子是不可能的。事实上，没有任何实验证据妨碍我们抛弃电子有绝对精确轨道的概念。
海森伯、玻恩与约当在以上观点的引导下建立了矩阵力学，它从原子辐射的频率及强度等物理上可观测的量出发，赋予每个物理量一个矩阵。量子体系的力学量(矩阵)之间的关系(矩阵方程)，形式上与经典力学相似，但运算规则不同。
另一个理论是薛定谔的波动力学，它从德布罗意有关物质波的思想出发讨论微观粒子的运动规律。物质波的概念是德布罗意为了寻求实物粒子与辐射的统一基础时提出的假设。薛定谔进一步推广了物质波的概念，找到了量子体系的物质波的运动方程——薛定谔方程，成功地解决了氢原子光谱等一系列重大问题。薛定谔方程是波动力学的核心。薛定谔后来还证明，波动力学与矩阵力学完全等价，是同一力学规律的两种不同表述。
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18.4 德布罗意假说
在光的量子理论和玻尔理论的启发下，德布罗意对力学
与光学的相似性进行了研究，根据类比的方法，于1923年提出实物粒子具有波粒二象性的假设：波动－粒子两重性是实物粒子的普遍性质，与具有一定能量E和动量p的粒子相联系的波的频率和波长分别为：
h E?h? , p?mv?
? 这两个关系式称为德布罗意关系。
从物质波的概念出发，能够较为自然地 导出玻尔的量子化条件。比如在圆轨道的情 况下，当电子绕核运动一周时，相应的波应
量子化条件 该能够光滑地衔接起来，这就要求圆周是波长的整数倍：
2?r?n? , n?1 , 2 , 3 , ?
将这个式子代入德布罗意关系中就可以得出粒子的角动量为：
L?rp?nh?n? 2?从量子力学的角度看，上述推导并不确切，能处理的问题也很有限，但是，其物理图象却极有启发性。
由于宏观粒子的动量与普朗克常数相比总是非常巨大的，因此与之相应的德布罗意波长极短，波的性质完全显露不出来。
1926年，薛定谔进一步推广了德布罗意波的概念，构造出一个反映量子体系的物质波的波动方程，建立了波动力学。波动方程是一个关于物质波的波函数的二阶线性偏微分方程。在波动力学中，分立能级问题表现为在一定的边界条件下求解微分方程的本征值问题。与矩阵力学一样，波动力学成功地解决了氢原子光谱的一系列重大问题。
在经典的概念中，粒子性和波动性具有明确的含义。当我们谈到“粒子”这个概念时，总是意味着具有确定的质量和电荷等“颗粒性”的物理客体，它们具有确切的位置和运动轨道；当我们谈到“波动”这个概念时，就意味着物理量
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的空间分布作周期性的变化，并呈现出干涉和衍射等反映相
干叠加性的现象。如何将这两种截然不同的特性统一到一个物理客体上呢？
为解释电子具有的波动性，有人曾经把电子波看作是空间中连续分布的某种物质波包，波包的大小代表了电子的大小，波包的群速度就是电子的运动速度。但是，只要稍加分沂，这种看法就碰到难以克服的困难。比如在非相对论性的情况下，自由粒子的动量为p = mv，利用德布罗意关系式可以得到
v??k2? , k? m?由此可见，组成波包的不同频率成份的行进速率不同，于是，
波包在传播过程中必然要扩散。然而，至少在现有的实验条件下，人们并没有观察到电子变“胖”的现象。显然，物质波包的观点夸大了物理客体的波动性。
与此相反，有人认为电子的波动性来源于大量电子分布在空间中所形成的疏密波。然而，实验表明，单个电子就具有波动性。事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子中电子运动的量子性质。
显然，在经典的意义下，粒子性和波动性难以统一到一个物理客体上。事实上，由以上的分析可以看出，电子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。对这个问题作进一步分析表明，电子所呈现的粒子性只是它的颗粒性，并不与“粒子有确切的轨道”这个概念相关；电子所呈现的波动性只不过是波动性中最本质的东西：叠加性，并不一定与某种实在的物理量在空间的周期分布相联系。因此，波粒二象性只是把粒子的“颗粒性”与波的“叠加性”统一起来。在量子的概念下，电子既是粒子又是波，粒子的量子化必定具有波动性，波的量子化必定具有粒子性，粒子是波的量子。在不同的实验条件下，物理客体可以呈现出不同的性质。
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习题
18.1 根据狭义相对论以及光子以光速c运动的事实，从普朗克假说出发导出光子的动量与辐射场的波长之间的关系。
18.2 在正负电子对淹没时，为何至少要产生两个光子？
18.3 如果将恒星看成绝对黑体，利用维恩位移定律，通过测量?m便可估计其表面温度。现测得太阳和北极星的?m分别为510 nm和350 nm，求它们的表面温度。
18.4 太阳辐射到地球大气层顶部单位表面上的辐射通量
I0?1.35kW?m?2称为太阳常数。如果把太阳当作黑体，
估算太阳表面的温度。
18.5 在理想条件下，正常人的眼睛接收到550 nm的可见光时，只要每秒光子数达100个就会有光的感觉， 求此时的光功率。
18.6 广播天线以频率1 MHz，功率1 kW发射无线电波，求它每秒发射的光子数；利用太阳常数的观测值计算人眼每秒接收到来自太阳的光子数。假定光的平均波长是550 nm，人眼的受光面积是1 cm2。用上述计算结果说明为什么在研究广播辐射和太阳光学时，电磁辐射的量子性并未直接显示出来。
18.7 已知氢原子的电离能是13.6 eV，通常把电子从基态跃迁到某个激发态所需要的能量称为激发能。如果从某个激发态移走一个电子需要0.85 eV的能量，那么，从这个激发态向激发能为10.2 eV的激发态跃迁时，所产生的谱线的波长是多少？这条谱线属于哪个线系？
18.8 氢原子的电离能等于13.6 eV，有一个能量为15.2 eV的光子被某氢原子中的基态电子吸收，形成一个光电子，求这个光电子在远离原子核时的速率和德布罗意波长。
( me = 0.51MeV/c2，c = 3×108m . s?1，1eV = 1.6×10?19J )