16
18.9 热中子的平均动能是3kT/2，当温度为300 K时，用电子伏表示一个热中子的动能并计算它的德布罗意波长。
18.10 如果电子的动能等于它的静能，求它的速率和德布罗意波长。如果光子的能量等于电子的静能，求该光子的频率、波长和动量。
17
第19章 量子世界
19.1 概率波
实物粒子具有波动性的一面，它的波动性必定能够用一
个波函数来描写。必须找出波函数随时间演化所遵从的规律。薛定谔在1926年提出的波动方程成功地解决了这个问题。薛定谔方程是量子力学的基本方程，它的地位与牛顿第二定律在经典力学中的地位相似。实际上，薛定谔方程是量子力学的基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
对于在势场中运动的粒子，波函数满足的薛定谔方程为：
??22?????i???r,t??????U?r????r,t? ?t?2m?在建立量子力学的过程中，对德布罗意波以及波函数的
解释存在着许多困难。1926年，玻恩利用散射过程的量子力学描述对波函数的意义进行了论证，他指出，德布罗意波所描述的是刻划粒子在空间的概率分布的概率波。这样，在量子概念下，粒子性和波动性就有了统一的明确的含义。
波函数的统计解释是量子力学的基本原理之一。根据这种解释，在衍射实验中显示的电子的波动性，是一个电子在多次相同实验中的统计结果，或者是许多电子在同一个实验中的统计结果。实验给出的衍射图样代表电子在空间某点附
?近出现的概率。波函数??r?正是为了描述粒子的这种行为而引进的。在量子力学中，波函数是最重要的基本概念之一，它完全描述了体系的量子态。衍射图样的强度分布用
??r???*?
2?来描述。但是，衍射波强度的意义与经典波完全不同，它刻划了电子出现在某点附近的概率的大小。确切地讲，
??r??x?y?z
表示在r点附近的体积元?x?y?z中找到粒子的概率。
2?
玻恩对波函数的统计解释表明，我们只能给出在空间一
18
定范围内找到粒子的概率，不能确定粒子一定在某个地方。
在经典力学中，只要给定了初始条件，原则上可以同时精确地预言粒子的位置及其动量。然而，在量子概念下，牛顿决定论的图象不再适用。海森堡发现，不同物理量的不确定性之间存在着一定关系，这就是他于1927年提出的不确定性原理(uncertainty principle)：如果测量粒子位置的不确定范围是?x，那么，同时测量其动量也有一个不确定范围?px，两者之间满足所谓的不确定关系(uncertainty relation)：
?x??px?? 2这个不等式反映了微观粒子运动的基本规律。
不确定关系还存在于能量与时间之间。如果一个粒子在能量状态E附近只能停留?t时间，这段时间间隔就称为粒子的平均寿命。在粒子停留的这段时间内，粒子的能量状态并非完全确定，两者之间满足
?E??t?? 2?E称为能级的宽度。
当然，由于普朗克常数的数值非常小，在一股的宏观现象中，由不确定关系并不能得到任何有价值的结果，而且，到目前为止，任何精确测量所得到的?x与?px的乘积，其数量级都远比普朗克常数的大得多，因此，在宏观现象中完全可以引用位置、速度和轨道运动等概念来描述物理客体的运动。但是，在处理微观现象时，无论是作定性的讨论，还是作粗略估计，都必须考虑到不确定关系的作用。
在前几章中我们看到，相对论改变了我们关于时间和空间的观念，现在我们再次看到，量子力学改变了我们对自然现象的认识，我们不能做决定性的断言，只能做可能性的断言。
19.2 氢原子
现在我们用量子力学来讨论氢原子的问题。在氢原子中，电子在质子的库仑场中运动，相互作用势能为：
19
U?r??e24??0r2
由于势函数具有球对称性，在球坐标系下求解这个问题较为
方便。在球坐标系下，薛定谔方程的解可以定性地写成?nlm?r,?,??，其中n , l , m是三个量子数，称为主量子数、角量子数和磁量子数。求解上述方程需要使用一类称为特殊函数的数学函数，我们对此不作详细讨论，只给出能级的最终结果以及三个量子数的取值范围。三个量子数分别按如下方式取值：
n = 1 , 2 , 3 , ?
l = 0 , 1 , 2 , ? , n -1
m = 0 , ±1 , ±2 , ? , ±l
氢原子的能量本征值由主量子数决定：
mee2 En??22232?2?0?n由此可见，用量子力学得到的氢原子的能级公式与用玻尔理
论得到的结果完全一致。
我们看到，氢原子的能量本征值只依赖于主量子数。但是，对于给定的主量子数，角量子数可以取n -1个值，而对于给定的角量子数，磁量子数又可以取2l +1个值，因此，当给定了主量子数n时，总共有
fn???2l?1??n2
个态?nlm?r,?,??对应于同一个能量En。这种多个态对应于同一个能级的现象称为简并性，对应于同一个能级的态的数目称为简并度。在一般的有心力场中，能量的数值取决于n和l，能级的简并度为2l +1。
l?0n?1 20
习题
19.1 当粒子沿x方向运动时，速率的不确定度为
?v?1cm?s?1，这个粒子可能是电子、10?13kg的布朗粒子
或10?4kg的细弹丸，分别估算这三种情况下该粒子的坐标的不确定度。
19.2 质量为m的粒子被限制在宽度为a的区域中运动，请用不确定关系估算该粒子可能具有的最低能量。
19.3 发现中子之前，人们曾认为原子核由A个质子和A-Z个电子组成。用不确定关系估算核内质子和中子的动能，由此说明电子不可能是原子核的结构单元。即使是原子核在发生衰变时临时产生的电子，也只有几个MeV动能，相应的德布罗意波长远大于核的半径，因此，不可能在核内久留，几乎一产生就逸出核外。
19.4 氢原子处于n = 2的能级时共有多少个不同的状态？
?1019.5 原子的尺度是~10m，原子内电子的动能~10eV；在测定电子的荷质比的实验中，电子束截面的尺度
~10?4m，电子的加速电压~10 V；带电粒子在威尔逊云室
中的轨迹是一串小雾滴，线度1 ?m，被观测电子的能量~1000 eV。结合以上情况用不确定关系说明：在原子中电子轨道运动的概念完全没有意义，而在测定电子荷质比的实验中，以及 ? 粒子的散射实验中，粒子的轨道还是有意义的，可以近似地把他们当作经典粒子来处理。