第2章 随机过程与噪声
在通信系统中，信源发送的信号具有一定的不可预测性，或者说随机性。信号在传输过程中会不可避免地遇到各种噪声和干扰，这些噪声也是不可预测的或随机变化的。电磁波的传播受大气层的变化、地面地形的影响，也使接收的信号随机变化。因此，通信中的信号和噪声都具有一定的随机性，需要借助随机过程的数学方法来描述。
本章介绍随机过程的基本概念、数字特征及噪声的表示方法，重点分析通信系统中几种重要随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的情况，这些内容对后面章节中分析通信系统的性能很有用。 2.1随机过程描述 2.1.1 随机过程概念
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。通信系统中的信号和噪声是具有随机性的，通常称为随机信号，它们均可看作随时间参数t变化的随机过程。
随机过程是时间t 的实函数，但是在某一时刻上观察到的值却是一个随机变量。也就是说，随机过程可以看成是对应不同随机试验结果的时间过程的集合。例如：设有n部性能完全相同的通信机，它们的工作条件相同，如果用n台相同的记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，结果将发现，尽管测试设备和测试条件都相同，但是纪录的是n条随时间起伏且各不相同的波形，如图2-1所示。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间变化是不可预测的。测试结果的每一个记录，即图2-1中的一个波形，都是一个确定的时间函数xi(t),它称之为样本函数或随机过程的一个实现。全部样本函数构成的总体│x1(t),x2(t),?,xn(t)│就是一个随机过程，记作??t?。简言之，随机过程是所有样本函数的集合。
显然，把对接收机输出噪声波形的观察可看作是进行一次随机试验，每次试验之后，??t?取图2-1所示的所有可能样本中的某一样本函数，至于是哪一个样本，在进行观测之前是无法预测的，这正是随机过程随机性的表现。随机过程的这种不可预测性或随机性还可以从另一个角度来理解，在任一观测时刻t1上，不同样本的取值?xi(t1),i?1,2,...,n?是一个随机变量，记作?(t1)。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
x1?t?tx2?t??t?txn?t?t图2-1 样本函数构成的总体
随机过程具有两个属性： (1) ??t?是时间的函数。
(2) 给定任一时刻t，??t?是不含t 的随机变量。
2.1.2随机过程的统计特性
随机过程的统计特性是通过它的概率分布和数字特征来表述的。
设??t?是一个随机过程，其在任意给定时刻t1,的取值用??t1?表示，随机变量??t1?的统
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计特性可用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量??t1?小于或等于某一数值x1的概率p[?(t1)?x1]记作F1(x1,t1)，即 则称F1(x1,t1)为随机过程??t?的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，有
F1(x1,t1)?p[?(t1)?x1] （2.1-1）
则称f1?x1,t1?为??t?的一维概率密度。显然，随机过程的一维分布函数和一维概率密度仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系，还需在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。
对于任意给定的两个时刻t1,t2,把?(t1)?x1 和?(t2)?x2同时成立的概率 称为随机过程??t?的二维分布函数，如果
?F1?x1,t1??f1?x1,t1? （2.1-2） ?x1 F2(x1,x2;t1,t2)?P??(t1)?x1,?(t2)?x2? （2.1-3）
?2F2(x1,x2;t1,t2)?x1,?x2?f2(x1,x2;t1,t2) （2.1-4）
存在，则称f2(x1,x2;t1,t2)为??t?的二维概率密度函数。
同理，任意给定t1,t2,...,tn?T，则??t?的n维分布函数被定义为 如果存在
Fn?x1,x2,?xn;t1,t2,?tn??p???t1??x1,??t2??x2,???tn??xn? （2.1-5）
则称fn?x1?xn,t1?tn?为??t?的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述越充分，但问题的复杂度也随之增加。
2.1.3随机过程的数字特征
上述随机过程的概率分布函数和密度函数虽然能较完整的描述其统计特性，但在实际工作中，用数字特征来描述更为简单和直观。随机过程的数字特征是由随机变量的数字特征推广得到的，其中最常用的是均值、方差和相关函数。
1、均值（数学期望）
随机过程??t?在任意给定时刻t1的取值??t1?是一个随机变量，其一维概率密度函数为
?nFn?x1,x2,?xn;t1,t2,?tn??fn?x1?xn,t1?tn? （2.1-6）
?x1?x2??xnf1(x1,t1)，则??t1?的均值定义为
E???t1???????x1f1?x1,t1?dx1 （2.1-7）
因为t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1也改为x ,这时上式就变为随机过程在任意时刻的均值（也称数学期望），记为a(t) a?t??E???t???显然，随机过程??t?的均值a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的所有样本函数曲线的摆动中心。 2、方差
随机过程的方差定义为
????xf1?x,t?dx （2.1-8）
?2?t??D???t???E???t??E???t???2
???E???t????a?t?????x22????E?2?t??2E???t???E???t???E???t??222 (2.1-9)
f1?x,t?dx??a?t???2
可见，方差等于均方值与数学期望平方之差，它表示随机过程在时刻t相对于均值a(t)
的偏离程度。
3、协方差和相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t 1, t 2)和相关函数R（t1, t 2）来表示。协方差函数定义为
B?t1,t2??E?[??t1??a?t1?][??t2??a?t2?]??????????[x1?a?t1?][x2?a?t2?]?f2?x1,x2;t1,t2?dx1dx2 (2.1-10)
式中，t 1与t 2是任取的两个时刻，a(t1)与a(t2)是t1,t2时刻的均值，f2(x1,x2;t1,t2)为
二维概率密度函数。
相关函数定义为：
R?t1,t2??E???t1???t2?????????式中，??t1?和??t1?分别是在t1,t2时刻观测??t?得到的随机变量。可以看出，R（t1，t2）是两个变量t1和t2的确定函数。
R(t1，t2)与B(t1，t2)之间的关系为
B?t1,t2??R?t1,t2??a(t1)a(t2) （2.1-12） 若a?t1??0或a?t2??0,则B(t1，t2)=R(t1，t2)。由于B(t1，t2)和R(t1，t2) 是衡量同一过程相关程度的，因此，它们又分别称为自协方差函数和自相关函数，本书中只采用R(t1，t2)。
如果把相关函数的概念引申到两个或多个随机过程，也可以定义互相关函数。设?(t)和
??x1x2f2?x1,x2;t1,t2?dx1dx2 (2.1-11)
?(t)分别表示两个随机过程，则互相关函数为
R ? ??t1,t2??E???t1???t2??
?????????xy?f?x,t1;y,t2?dxdy （2.1-13）
若t2>t1,并令??t2?t1，则相关函数R(t1，t2)可以表示为R(t1,t1??)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔?，即相关函数是t1和?的函数。 2.2 平稳随机过程
平稳随机过程是一种特殊类型的随机过程，在通信领域中应用很广泛。 2.2.1 严平稳过程与广义平稳过程
严平稳随机过程的全称是随机过程在严格意义下的平稳过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，对于任意的正整数n和所有实数?，随机过程?(t)的n维概率密度函数满足
fn?x1,x2,?xn;t1,t2,?tn??fn?x1,?xn;t1??,t2??,?tn??? （2.2-1）
该定义表明，严平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。由此推论出，它的一维分布函数与时间t 无关，即
f1(x,t1)?f1(x1) （2.2-2） 而它的二维分布函数只与时间间隔?有关，即
f2(x1,x2;t1,t2)?f?x1x2;?? （2.2-3） 显然，随着概率密度函数的简化，平稳随机过程?(t)的一些数字特征也可以相应地简化，其均值为
a?t??E???t???????xf?x?dx?a （2.2-4）
为一常数，它表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。 自相关函数为
R?t1t1????E???t1???t1?????????????x1x2f?x1,x2;??dx1dx2?R(?) （2.2-5）
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可见，严平稳随机过程?(t)具有显明的数字特征：①均值与t无关，为常数a；②自相关函数只与时间间隔??t2?t1有关，即R(t1,t1??)?R(?)。
实际中常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性，把同时满足①和②的随机过程定义为广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为广义平稳随机过程，将广义平稳随机过程简称为平稳过程。本书此后的讨论都假定是平稳过程。 2.2.2平稳过程的各态历经性
平稳随机过程在满足一定条件下有一个非常有用的特性，称为“各态历经性”。是指随机过程的数字特征（统计平均）可由随机过程中任一实现的数学特征（时间平均）来代替。大量实际观测和理论分析表明，许多平稳随机过程都具有这样的特性。 假设x(t)是平稳随机过程?(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别定义为
1limT??T
?1T??Tlim1T??Tlim?????????T2xtdt?aT?2T22xt?adt?T?2T2xtxt?dt?T?2???2R??????????? （2.2-6） ?????如果平稳随机过程使下式成立
a?a ?2??2R????R?????? （2.2-7） ??即平稳过程的统计平均值等于它的任意一次实现的时间平均值，则称该平稳过程具有各态历经性。
“各态历经性”的含义是：随机过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态。因此，无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需作一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，这使实际测量和计算过程大为简化。
注意，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号及噪声，一般均可满足各态历经条件。 2.2.3平稳过程自相关函数与功率谱密度
在平稳过程中，均值、方差、自相关函数和互相关函数这四个数字特征中，自相关函数最为重要。其一，平稳随机过程的统计特性可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。
1、自相关函数
设?(t)为实平稳随机过程，则自相关函数 R????E???t???t?????具有以下主要性质：
① R?0??E?????????（2.2-8） x1x2f?x1x2,??dx1dx2
?2?t???S (2.2-9)
即??0的自相关函数等于信号的平均功率。
② R????R???? （2.2-10）
即R(?)是关于?的偶函数。这一性质可直接由定义式（2.2-8）证。
③ R????R?0? （2.2-11） 即自相关函数R(?)在??0有最大值。考虑一个非负式E??(t)??(t??)??0可以证明此关系。
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?? E???t???2E???t???t?????E???t???0E?2?t??2??t???t?????2?t????022 2R(0)?2R(?)?0 R(?)?R(0)
④ R????E2???t???a2
??? （2.2-12）
2即R???等于?(t)的直流功率，证明如下。
limR????limE???t???t?????E???t???E???t?????E???t??
???上式利用了当???时，?(t)与?(t??)不存在依赖关系，即统计独立，且?(t)中不含周期分量。
⑤ R?0??R????? （2.2-13）
2即左端表达式代表的是?(t)的交流功率，证明如下。
D???t???E???t??a??E?2?t??2a??t??a22??
?E?2?t??2aE???t???a2?R?0??2a?a?a2
?????R?0??a2?R?0??R???2当均值为0时，有R(0)??。
由上述性质可知，用自相关函数几乎可表述?(t)所有的数字特征，因而具有实用意义。
2、功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。由于随机过程的任意一个实现是一个确定的功率信号，设为f?t?，它的功率谱密度Pf???定义为
Pf????limFT???T2T?? （2.2-14）
式中，FT???是f?t?的截短函数fT?t?所对应的频谱函数，见图2-2。
f?t?0fT?t?t?T20图2-2 截短函数T2t
可以把f?t?看成是平稳过程??t?的任一样本，因而每个样本的功率谱密度也可以用式（2.2-14）来表示。一般而言，不同样本函数具有不同的谱密度Pf???，因此，某一样本的功率谱密度不能作为随机过程的功率谱密度，而应看作是对所有样本功率谱的统计平均，即
P?????EPf(?)?lim??EFT???T?2T??? （2.2-15）
上式给出了平稳随机过程??t?的功率谱密度P尽管该定义非常直观，但却很难直????定义，接用它来计算功率谱。
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