由确知信号理论可知，非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换的关系。这种关系对平稳随机过程同样成立，也就是说，平稳过程的功率谱密度P????与其自相关函数R???也是一对傅里叶变换关系，即
P?????
????R????e?j??d????1R????2??P?????e （2.2-16）
j??d?简记为
R(?)?P?(?)
关系式（2.2-16）称为维纳-辛钦关系，它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。
在维纳-辛钦关系的基础上，可以得到以下结论：
（1）对功率谱密度进行积分，可以得到平稳过程的总功率
R(0)?12?????P?(?)d??E?2(t) （2.2-17）
??这正是维纳-辛钦关系的意义所在，它不仅指出了用自相关函数来表示功率谱密度的方法，同时还从频域的角度给出了平稳随机过程??t?平均功率的计算法，而式R(0)?E?(t)
2??是时域计算法。这一点进一步验证了R???与功率谱密度P????的关系。
（2）功率谱密度P????具有非负性和实偶性，即有
P?(?)?0 （2.2-18） 和
P?(??)?P?(?) （2.2-19）
?ct??)，其中A和?c均为常数；?是在【例2-1】 某随机相位余弦波?(t)?Acos((0,2?)内均匀分布的随机变量。
（1）求??t?的自相关函数与功率谱密度； （2）讨论??t?是否具有各态历经性。 【解】（1）先观测??t?是否广义平稳 ??t?的数学期望为
a(t)?E??(t)???Acos(?ct??)02?1d?2???t?的自相关函数为
A2?(cos?ctcos??sin?ctsin?)d??0 2?2?2?A??cos?ct?cos?d??sin?ct?sin?d???00??2???0? 6
R(t1,t2)?E??(t1)?(t2)??E?Acos(?ct1??)?Acos(?ct2??)?A2 ?E?cos?c(t2?t1)?cos??c(t2?t1)?2???2A2A22?1?cos?c(t2?t1)?cos?(t?t)?2?d???c21?0222?A2?cos?c(t2?t1)?02令 t2?t1??，得
A2 R(t1,t2)?cos?c??R(?)
2可见，??t?的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔?有关，故??t?为广义平
稳随机过程。
根据平稳随机过程相关函数与功率谱密度的关系，即R(?)?P?(?)，由于
cos?c?????(???c)??(???c)? 所以，功率谱密度为
P?(?)?而平均功率为
?A22??(???C)??(???C)?
1?A2 S?R(0)? P?(?)d??2????2（2）再来求??t?的时间平均。根据式（2.2-6）可得 1 a?limT??T?T2T?2Acos(?ct??)dt?0
1R(?)?limT??T?T2T?2Acos(?ct??)?Acos??c(t??)???dtTT?A2?22cos( ?limcos??dt?2?t????2?)dt??T? Tccc?T??2T??2?2?A2?cos?c?2比较统计平均与时间平均，可得a?a,R(?)?R(?)，因此，随机相位余弦波具有各
态历经性。
2.3 平稳随机过程通过线性系统
通信过程主要是信号通过系统传输的过程。通信系统中所遇到的信号或噪声一般都是随机的，这些随机过程通过线性系统后，输出将是什么样的过程？
随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析基础之上的。这里只考虑平稳随机过程通过线性时不变系统的情况。对于线性时不变系统，输出响应v0(t)等于输入信号vi(t)与系统的冲击响应h(t)的卷积，即
vo(t)?vi(t)?h(t)?或
????vi(?)h(t??)d? （2.3-1）
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vo(t)?h(t)?vi(t)??h(?)v(t??)d? （2.3-2）
i对应的傅里叶变换关系为
VO(?)?H(?)Vi(?) （2.3-3） 本。显然,输入随机过程为?i?t?的每个样本与输出过程?0?t?的相应样本之间都满足式（2.3-2）的关系。因此，输入与输出随机过程也应满足式（2.3-2）,即有
现假定输入过程?i?t?是平稳随机过程，可根据上述关系求系统输出过程?0?t?的统计特性。
1、输出过程?0?t?的均值
如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本,则v0(t)可看作是输出随机过程的一个样
?0?t??h?t???i?t???h????i?t???d? (2.3-4)
???对式(2.3-4)两边取统计平均，则输出过程?0?t?的均值为
???? E??0?t???E?h????i?t???d???h???E??i?t????d? ????????输入过程是平稳的，则有E??i?t?????E??i?t???a(常数），所以
可见，输出过程的均值等于输入过程的均值与直流传递函数H(0)的乘积，且E??0(t)?与t无关。
2、输出过程?0?t?的自相关函数
E??0?t???E??i?t???h???d??a?H?0? （2.3-5）
???根据自相关函数的定义，输出过程?0?t?的自相关函数为
R0?t1,t1????E??0?t1??0?t1????
????E?h????i?t1???d???h????i?t1?????d?? ????????????????h???h???E???ti?1????i?t1??????d?d?根据输入过程的平稳性，有
E??I(t1??)?i(t1????)??Ri(?????) 于是
R0(t1,t1??)??可见，?0?t?的自相关函数只与时间间隔?有关，与时间起点无关。
??h???h???R???????d?d??R??? (2.3-6)
????i0??式（2.3-5）和式（2.3-6）表明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。
3、输出过程?0?t?的功率谱密度 对式(2.3-6)进行傅里叶变换，输出过程?0?t?的功率谱密度为
'P0?????R0???e?j??d?????????????????h???h???R???????d?d??e?i
?j??d??j??'令???????，则有 P0(?)?即
?h???e???j??d??h???e????j??d??Ri(?)e???'d?'
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P0(?)??H????H????Pi????H????P i??? (2.3-7)
?2可见，线性系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi(?)与系统功率传递函数H(?)是先计算出功率谱密度P0(?)，然后求其反变换，这比直接计算R0(?)要简便得多。
2的乘积。这是一个很重要的公式，若想得到输出过程的自相关函数R0(?)，比较简单的方法2.4 高斯过程
高斯过程也称为正态随机过程，在实践中观测到的大多数噪声都属于高斯过程，在信道的建模中经常用到高斯模型。 2.4.1高斯过程定义
若随机过程??t?的任意n 维（n=1,2,?）分布都服从正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下：
fn?x1,x2,?,xn;t1,t2,?,tn???1nn?xj?aj??xk?ak?? (2.4-1)
?exp?|B|jk???????n/2n/2???2???1?2??n|B|???j???k???2|B|j?1k?1?22式中，ak?E???tk??,?k?E???tk??ak?,B为归一化协方差矩阵的行列式
11 B?b121??b1n?b2n?1
b21?bn1bn2?Bjk为行列式B中元素bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数，且 bjk?E?[??tj??aj][??tk??ak]??j?k (2.4-2)
2.4.2 高斯过程主要特性
(1)高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。
(2)广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为若高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，因此它的n维分布也与时间起点无关。
(3)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j?k，有bjk?0，这时式(2.4-1)变为
??xk?ak?2?fn?x1,x2,?,xn;t1,t2,?,tn???exp???2 2?2??kk?1k?? (2.4-3)
?f?x1,t1??f?x2,t2??f?xn,tn?n1这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。
(4)高斯过程经过线性系统后的过程仍然是高斯过程。 2.4.3 高斯过程一维分布
高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数表示为
f?x???(x?a)2exp???2?22???12??? (2.4-4) ?式中，a为高斯随机变量的数学期望，?为方差。f(x)曲线如图2-3所示。
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12??f?x?0a图2-3 高斯概率密度函数x
f(x)具有以下特性：
(1)f?x?对称于x?a这条直线，在a处为最大，等于(2)及
?1。 2???f?x?dx?1 (2.4-5)
??01 （2.4-6） ???02(3)a表示分布中心，?称为标准偏差。f(x)图形将随着?的减小而变高和变窄。 当a?0,??1时，称为标准化的正态分布，即有
f?x?dx??f?x?dx???x2?f?x??exp??? (2.4-7)
2??2?当要求计算高斯随机变量?小于或等于任意取值x 的概率P???x?时，可由下式得到
1 F?x??P???x???x????z?a?2?exp???dz (2.4-8) 22??2???1这个积分无法用闭合形式计算，但可以通过查表得到数值解。(2.4-8)常用以下几种特殊函
数来表示：
(1)误差函数和互补误差函数 误差函数定义为
erf?x??2??x0e?tdt (2.4-9)
2，erf??x???erf?x?。它是自变量的递增函数，且有erf?0??0，erf????1
称1-erf?x?为互补误差函数，记为erfc(x)，即
erfc?x??1?erf?x??互补误差函数是自变量的递减函数，且有
2???xe?tdt （2.4-10）
2erfc?0??1，erfc????0，erfc??x??2?erfc?x?
当x??1时，近似有
erfc?x??1?xe?x2 （2.4-11）
实际应用中只要x＞2就可满足要求。
(2)概率积分函数和Q(x)函数 概率积分函数定义为
??x??12??x??e?t22dt （2.4-12）
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