R??0??Rc?0??Rs?0? （2.5-16）
即 ????c??s （2.5-17） 这表明，?c?t?，?s?t?和??t?具有相同的平均功率和方差（因为均值为0）。
另外，根据??t?是平稳高斯型的，故??t?在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，则由式（2.5-2）可得
取t?t1?0时， ??t1???c?t1?
222?时， ??t2???s?t2? 2?c所以，?c?t1?、?s?t2?是高斯随机变量，从而?c?t?和?s?t?也是高斯随机过程。又根据式（2.5-15）可知，?c?t?与?s?t?在??0互不相关，因此它们也是统计独立的。
综上所述，可以得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程??t?，它的同相分量?c?t?和正交分量?s?t?也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻得到的?c,?s是互不相关的或统计独立的。
2、a??t?和???t? 的统计特性
取t?t2?以上分析可知，?c和?s的联合概率密度函数为 f??c,?s??f??c?f??s??12???2设a?,??的联合概率密度函数为fa?,??，则根据概率论知识，有
fa?,???f??c,?s?????2c??s2?exp??? （2.5-18） 22???????????c,?s? （2.5-19）
??a?,???根据式（2.5-3）和式（2.5-4）随机变量之间的关系 ?可得
??c?a?cos??
??asin????s???c,?s?
??a?,???于是
??c?a????c?????scos???a????s?a?sin?????sin??a?cos???a?
f?a?,????a?f??c,?s??a?2???a?2???22??a?cos???2??a?sin???2?exp??? （2.5-20）
2???????a?2??exp??2?2??????2??内取值。 注意，这里a??0,而??在?0，再利用概率论中边际分布知识，将fa?,??对??积分可求得包络a?的一维概率密度函数为
?? 16
f?a????f?a?,???d???????2?a?2???20?a?2?exp???d?? 2??2???? ?a???2?a?2?exp???， a??0 （2.5-21） 2??2????可见，a?服从瑞利分布。
同理，将fa?,??对a?积分可求得相位??的一维概率密度函数为
??f??????f?a?,???da??01?2??12???0?a?2?exp??da? 2?2????2????a?,?0????2?? （2.5-22）
可见，随机相位??服从均匀分布。
综上所述，得到又一个重要结论：一个均值为零，方差为??的窄带平稳高斯过程??t?，
2其包络a??t?的一维分布是瑞利分布，相位???t?的一维分布是均匀分布。并且就一维分布而言，a??t?与???t?是统计独立的，即有下式成立
f?a?,????f?a???f???? （2.5-23）
2.5.2 正弦波加窄带高斯噪声 在通信系统中，传输的信号是用一个正弦波作为载波的已调信号，信号经过信道传输时总会受到加性噪声的影响。为了减小噪声的影响，通常在接收机前端加一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是正弦波已调信号与窄带高斯噪声的混合波形，这是通信系统中常会遇到的一种情形。所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。
设正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为
r?t??Acos??ct????n?t? （2.5-24） 式中，n?t??nc?t?cos?ct?ns?t?sin?ct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为?n；正弦
22??上均匀分布的随机变量。于是有 信号的A，?c均为常数，?是在?0，r?t??f?t??n?t??Acos??ct?????nc?t?cos?ct?ns?t?sin?ct?
??Acos??nc?t??cos?ct??Asin??ns?t??sin?ct （2.5-25） ?zc?t?cos?ct?zs?t?sin?ct?z?t?cos??ct???t??式中：
zs?t??Asin??ns?t? （2.5-27）
合成信号 r(t)的包络和相位为
z?t??zc?t??Acos??nc?t? （2.5-26）
zc2?t??zs2?t?z?0 （2.5-28）
??t??arctanzs?t?zc?t?0???2? （2.5-29）
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由上面讨论可知，如果?值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 E?zs??Asin?E?zc??Acos?
?c2??s2??n2所以，在给定相位?的条件下zc和zs的联合概率密度函数为
f?zc,zs/???12??n2?1?22????exp??z?Acos??z?Asin?cs2?2?n?????? ??利用与以上分析a?,??相似的方法，根据式（2.5-26）、式（2.5-27）可以求得在给定相位?的条件下的z和?的联合概率密度函数为 f?z,?/???f?zc,zs/?? ?求条件边际分布，有
???c,?s??z?f?zc,zs/??
??a?,???z2??n2?2??1??22??exp??z?A?2Azcos???? 2??2?n????f?z/????
0f?z,?/??d?z2?由于
2??n?z2?A2?2??Az?
?exp???2?2???0exp??2cos??????d?n???n?
故有
12??2?0exp?xcos??d??I0?x? （2.5-30）
?Az??Az??2? ??expcos???d??J?0??0????n???n?式中，J0?x?为零阶修正贝塞尔函数。当x?0时，J??x?是单调上升函数，且有J0?0??1。
12?2?故有
f?z/???z?n2z由上式可知，f?z/??与?无关，故合成信号r(t)的包络z 的概率密度函数为：
f?z???1?exp??z2?A22?2?n????J?Az??2? 0?????n??n2?122exp??z?A2?2?n????J?Az??2??????????0?????n?z?0 （2.5-31）
该概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）分布。
式（2.5-31）存在两种极限情况：
（1）当信号很小时，A?0，即信号功率与噪声功率之比r?A2?n2?0时，相对于x 值很小，于是有I0?x??1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（2.5-31）近似为式（2.5-21），即由莱斯分布退化为瑞利分布。
（2）当信噪比r很大时，有I0?x??即
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ex2?x，这时在z?A附近，f(z)近似于高斯分布，
f?z????z?A?2?exp??2?2?n2??n?1?? ??由此可见，信号加噪声的合成包络的分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下才是莱斯分布。图2-8（a）给出不同的r值时f(z)的曲线。
关于信号加噪声的合成波相位分布f???，由于比较复杂，这里就不再推导了。不难想象，f???也与信噪比有关。小信噪比时，f???接近均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f???主要集中在有用信号相位附近。图2-8（b）给出不同的?值时f???的曲线。
?nf?z?r=00.5r>>10.30.20.10f???r>>1r=0?n(a)Az??0(b)????图2-8 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布
2.6 matlab仿真举例
高斯噪声对调幅信号的影响。设调制信号是一个幅度为2v,频率为1000Hz的余弦波，调制度为0.5，载波信号是一个幅度为5v，频率为10kHz的余弦波，所有余弦波的初相位为0.若信道中没有噪声干扰，则接收机的天线接收到的调幅波形如图2-9（a）所示.若信道中存在加性噪声n(t)，则接收机所收到的调幅信号r(t)=y(t)+n(t)是叠加噪声的调幅信号，如图2-9（b）所示。n(t)是利用randn命令产生的高斯噪声。实现调幅信号的程序源代码如下：
dt=1e-6; %仿真采样间隔 T=3*1e-3; %仿真终止时间 t=0:dt:T;
input=2*cos(2*pi*1000*t); %输入调制信号 carrier=5*cos(2*pi*1e4*t); %载波 output=(2+0.5*input).*carrier; %调制输出
subplot(2,1,1);plot(t,output);xlabel('t/s');ylabel('调幅输出');%作图调幅输出波形
noise=randn(size(t)); %噪声
r=output+noise; %调制信号加性噪声信道
%作图输出调幅信号
subplot(2,1,2);plot(t,r);
xlabel('t/s');ylabel('调幅输出');
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(a) 无噪声的调幅输出信号的仿真波形（b) 叠加噪声的调幅输出信号的仿真波形利用Matlab提供的专用高斯噪声SX?f?是随机过程或噪声的自相关函数RX???傅氏变换。
对于平稳随机过程和噪声信号X(t),在频域范围内可用功率谱SX?f?来表征，而
图2-9 调幅输出信号波形函数wgn( )，可以方便的对高斯噪声信号进行相关操作和功率谱分析。程序源代码如下： N=1024;
noise=wgn(1,N,10); %产生高斯噪声1 noise1=wgn(1,N,10); %产生高斯噪声2 psd=spectrum(noise,N); %噪声功率谱密度 y1=xcorr(noise,noise1); %两个噪声的互相关 y=xcorr(noise,noise); %一个噪声的自相关
subplot(2,2,1);plot(1:N,noise); %绘图输出如图2-10所示 title('The Noise Signal'); xlabel('Time');grid;
subplot(2,2,2);specplot(psd,1);grid; subplot(2,2,3);plot(y);grid;
title('The self-correlation of one noise'); subplot(2,2,4);plot(y1);grid;
title('The across-correlation of two noise');
20