图2-10 信号的功率谱及相关函数
2.7 本章小结
通信中的信号和噪声都可看作是随时间变化的随机过程。因此，本章是分析通信系统必需的数学基础和工具。
随机过程具有随机变量和时间的特点，可以从两个既不相同又紧密联系的角度来描述：①随机过程是无穷多个样本函数的集合；②随机过程是一簇随机变量的集合。
随机过程的统计特性由分布函数或概率密度函数描述。若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，则称其为严平稳过程。
数字特征是另一种描述随机过程的简便手段。若过程的均值是常数，且自相关函数R?t1,t1????R???，则称该过程为广义平稳过程。
若一个过程是严平稳的，则它必是广义平稳的，反之不一定成立。若一个过程的时间平均等于对应的统计平均，则该过程是各态历经性的。
广义平稳过程的自相关函数R???是时间的偶函数，且R?0?等于总平均功率。功率谱密度与自相关函数是傅里叶变换及反变换关系，即P?????R???。
高斯过程的概率分布服从正态分布，它的统计特性可用数字特征来描述。一维概率分布只取决于均值和方差，二维概率分布主要取决于相关函数。高斯随机过程通过线性系统后，输出的仍为高斯过程。
正态分布函数与Q(x)或erfc(x)函数的关系在分析数字通信系统的抗噪声性能时很有用。
平稳随机过程?i?t?通过线性系统后，其输出过程?0?t?也是平稳的。 高斯白噪声是分析信道加性噪声的理想模型，它在任意两个不同时刻上的取值之间互不相关，且统计独立的。
白噪声通过带限系统后，其输出的是带限噪声。分析中常见的有低通白噪声和带通白噪声。
瑞利分布、莱斯分布、正态分布是通信中常见的三种分布。正弦载波信号加窄带高斯噪声的包络一般为莱斯分布。当信号幅度大时，趋近于正态分布；幅度小时，近似于瑞利分
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布。
思 考 题
2-1 何谓随机过程？它具有什么特点？
2-2 随机过程的数字特征主要有哪些？分别表征随机过程的什么特性？ 2-3 何谓平稳随机过程？广义平稳随机过程与严平稳随机过程有何区别？ 2-4 何谓统计平均？何谓时间平均？两者有何区别？
2-5 平稳过程的自相关函数有哪些性质？说明维纳-欣钦定理的含义和用途。 2-6 什么是高斯过程？其主要性质有哪些？ 2-7 试说明随机过程通过线性系统时的特性。
2-8 什么是白噪声？白噪声通过理想低通或理想带通滤波器后的情况如何？ 2-9 何谓高斯白噪声？它的概率密度函数、功率谱密度如何表示？
2-10何谓带限高斯白噪声？低通白噪声和带通白噪声的功率谱密度与自相关函数各有何特点？
2-11 什么是窄带随机过程？它的频谱和时间波形有什么特点？ 2-12 窄带高斯噪声有何特点？它的幅度和相位服从什么概率分布？ 2-13 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？ 2-14 正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位概率密度分布如何？
习 题
2-1设随机过程??t?可表示成??t??2cos?2?t???,式中?是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2,P(θ=π/2)=1/2,试求E?1?,及R??0,1?。
2-2 设随机过程Y(t)=X1cosω0t-X2sinω0t,若X1与X2是彼此独立且均值为0、方差为?的高斯随机变量，试求：
2、EY?t?； （1）E?Y?t??（2）Y(t)的一维概率分布函数f(y)； (3) R?t1,t2?和B?t1,t2?。
2-3 已知x(t)和y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为Rx(τ)、RY(τ).
(1) 试求乘积z(t)=x(t)y(t)的自相关函数； （2）试求乘积z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。
2-4 已知随机过程z(t)=m(t)cos(ωct+θ),它是广义平稳随机过程m(t)对一余弦载波进行振幅调制的结果。此载波的相位θ在（0，2π）上服从均匀分布，m(t)和θ是统计独立的，且m(t)的自相关函数为
2???1??,?Rm?????1??,?0,??1???00???0
其他(1)证明z(t)是广义平稳的；
(2)试画出自相关函数Rz(τ)的波形； (3)试求功率谱密度Pz(ω)及平均功率。
2-5 一个中心频率为fc、带宽为B的理想带通滤波器如图2-11所示。假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求
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H?f?BB?fc0fcf图2-11
（1） 滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 滤波器输出噪声的平均功率； （3） 输出噪声的一维概率密度函数。
2-6 一个RC低通滤波器如图2-12所示。假设输入是均值为零、功率谱密度为n0/2的白噪声，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。
RC 2-7 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与其他间隔内取值统计无关，且具有宽平稳性，试证：
（1）自相关函数
（2）功率密度
P?????Tb?Sa??fTb??
2图2-12?1??Tb,R???????0,??Tb
??Tb2-8图2-13为单个输入、两个输出的线性过滤器，若输入过程η（t）是平稳的，求?1?t?与?2?t?的互功率谱密度的表达式。
?1?t?h1?t???t?h2?t??2?t?
2-9若X(t)是平稳随机过程，其自相关函数为Rx???，试求它通过图2-14系统后的自相关函数和功率谱密度。
图2-13 23
X(t)相加Y(t)延时T图2-142-10 若通过图2-12所示的随机过程是均值为零、功率谱密度为n0
2的高斯白噪声，
试求输出过程的一维概率密度函数。
2-11设平稳过程X(t)的功率谱密度为Px???,其自相关函数为Rx???。试求功率谱密度为
1?Px????0??Px????0?? 2所对应过程的相关函数(其中,?0为正常数)。
分别为z1?t?与z2?t?，试证明z1?t?与z2?t?也是互不相关的。
第2章
2-1 E?1??1, R??0,1??2 2-2 （1）E?Y?t???0,2-12 设x1?t?与x2?t?为零均值且互不相关的平稳过程，经过线性时不变系统，其输出2-13 利用matlab对随机噪声的自相关特性、互相关特性及功率谱特性进行仿真分析。
EY2?t???2
???y2??; exp??（2）f?y??2??2???2??2（3）R?t1,t2??B?t1,t2????cos?0?
12-3 （1）R?t1,t2??Rx????Ry???
（2） R?t1,t2??Rx????Ry????2a1a2 2-4 （1）E?z?t???0,Rz?t1,t2??Rz???,所以平稳
1Rm????cos?0? 21（3）s?Rz?0??
22-5 （1）R0????n0BSa??B??cos2?fc?
（2）N0?R0?0??n0B
（2）Rz????
?x2?exp?? (3) f?x???
2?n0B?2n0B?n12?6P0????0?21???RC?21R0????2-7 略
n0e4RC1??RC
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2?8P?j????'12???????h1???ed?????h2???e?j??d?????R'????e?j??d?'
?H?1????H2????p????2?9R0????2Rx????Rx???T??Rx???T?P
Y????2?1?cos?T??Px???2?10f?x??2RC?2RC2??nexp?0???nx?0? ?2?11Rx????cos?0?
2-12 略 2-13 略
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