因为，所以得证。
例1－20 详细推导具有六个单键的分子的自由旋转均方末端距公式．假定键长0.154nm，键角为109'28°，计算
值(注：不能直接代入
计算)．
解：
∵
，，
∴
，
将代入
＝0.1423＋0.1068 ＝0.249nm2
第二种算法是直接代入：
＝0.1542×(12－1.498)＝0.249nm2 但本题不能直接代入立。
例1－21 计算相对分子质量为106的线形聚苯乙烯分子的均方根末端距．
计算，因为该式推导过程中已假定
，但对于n＝6，该式不能成
(1)假定链自由取向(即自由结合)． (2)假定在一定锥角上自由旋转． 解：n = 2×106/104=19231 l = 0.154nm (1)
(2)
例1－22 已知高分子主链中键角大于90°，定性地讨论自由旋转的均方末端距与键角的关系。 解：对于自由旋转链
（式中：θ＝180°－键角）
（1）当键角等于90°时，θ＝90°，cosθ＝0
可见自由结合链是平均键角为90°的自由旋转链。 （2）当键角等于180°时，θ＝0，cosθ＝1
这是伸直链的情况。
（3）当键角在90°～180°之间时，随键角的增加，θ变小，cosθ增大，使链不易运动，变得较僵硬。
随之增大。这是由于大的键角
注意：本题也可以用
互补角），但讨论结果一致。
（式中：α为键角）讨论，此时α的变化方向与θ相反（因是
例1－23 假定聚乙烯的聚合度为2000，键角为109.5°，求伸直链的长度Lmax与自由旋转链的根均方末端距之比值。并由分子运动观点解释某些高分子材料在外力作用下可以产生很大变形的原因。 解：对于聚乙烯链
n＝2×2000＝4000（严格地说应为3999）
所以
可见高分子链在一般情况下是相当卷曲的，在外力作用下链段运动的结果是使分子趋于伸展。于是某些高分子材料在外力作用下可以产生很大形变，理论上，聚合度2000的聚乙烯完全伸展可形变36.5倍。 注意：公式中的n为键数，而不是聚合度，本题中n为4000，而不是2000。 例1－24 解：
时的自由旋转链的时，自由旋转链的
与高斯链的
相比大多少？假定
。
高斯链的所以例1－25
（1）计算相对分子质量为280 000的线形聚乙烯分子的自由旋转链的均方末端距。键长0.154nm，键角为109.5°；
1. 用光散射法测得在θ溶剂中上述样品的链均方根末端为56.7nm，计算刚性比值； 2. 由自由旋转链的均方末端距求均方旋转半径。
解：（1）＝2×2×10000×1.542=949nm2
(2) =1.84
(3) =158nm2
例1－26 若把聚乙烯看作自由旋转链，其末端距服从Gauss分布函数，且已知C—C 键长为0.154nm，键角为109.5°，试求：
(1)聚合度为5×104的聚乙烯的平均末端距、均方末端距和最可几末端距； (2)末端距在±1nm和±10nm处的几率那个大．
解 (1) (注：α为键角，θ为键角的补角)
=2(5×104)×0.1542×=4.7×103(nm)2
或
nm
(2)由
=3.5×10-7(nm-1)
ω(±10nm) =3.7×10-5(nm-1)
即在±10nm处的几率比在±1nm处出现的几率大。
例1－27 计算M=250000g?mol-1的聚乙烯链的均方根末端距，假定为等效自由结合链，链段长为18.5个C-C键。
解： 每个CH2基团的分子量为14 g?mol-1，因而链段数ne为 2.5×105/（14×18.5）＝9.65×102 链段长le为18.5bsin所以le=2.33nm (
)=le
=72.4nm
/2,式中
=109.5?,b=0.154nm,
例1－28 试比较下列高分子链．当键数分别为n=100和n=1000时的最大拉伸倍数； (1)无规线团高分子链； (2)键角为θ的自由旋转链；
(3)聚乙烯链，已知下列数据和关系式： 反式(t)θi=0, U(t)=0;旁式(g或g/) ζ2=±120,U(g或g/)=3.34kJ·mol-1,
而
解：（1）对无规线团，按自由结合链计算，
∴最大伸长倍数＝当n＝100时为10； 当n＝1000时为31.6
注：因为自由结合链无键角限制，
（2）对自由旋转链，
∴最大伸长倍数＝当n＝100时为5.77； 当n＝1000时为18.3
（3）对于聚乙烯链，∴
∴最大伸长倍数＝当n＝100时为3.39； 当n＝1000时为10.7
例1－29从内旋转位能图（见图1-1）上读取旋转位能较低的峰值为12kJ/mol，高的峰值为25 kJ/mol，g、g′的Ek＝2 kJ/mol。用t、g、g′的三个峰值代替连续分布的旋转位能，求140℃的
；当
，
从计算。
解：＝0.224