数学高考总复习：基本不等式与不等式的证明
编稿：林景飞 审稿；张扬 责编：严春梅 知识网络
目标认知
考试大纲要求：
1. 了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 2．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①
； ②
；
3．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.
4．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.会用数学归纳法证明贝努 利不等式：
为大于1的正整数）；了解当n为实数
时贝努利不等式也
成立.
5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.
重点：
会用基本不等式、柯西不等式等解决简单的最大（小）值问题；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.
难点：
利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值，特别注意等号成立条件；不等式的证明。
知识要点梳理
知识点一：绝对值不等式的性质
1．
；
2．
；
知识点二：基本不等式
1、如果
那么
当且仅当
时取“=”号）.
2、如果 3、如果
那么
，那么
（ 当且仅当时取“=”号）. （当且仅当
时取“=”号）
4、如果，那么（当且仅当时取“=”号）
5、若a1,a2,...., an∈R+，则:
当且仅当a1=a2=.......=an时，取等号。
≥ (n∈N)
知识点三：柯西不等式
1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式： 设使
是两个向量，则
，当且仅当
是零向量或存在实数k，
时，等号成立。
（2）代数形式：
①若a、b、c、d都是实数，则时，等号成立；
②若a、b、c、d都是正实数，则时，等号成立；
③若a、b、c、d都是实数，则
时，等号成立；
注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式： 设
，则
。
，当且仅当ac=bd，当且仅当ac=bd，当且仅当ac=bd
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：
若
都
是
实
数
，
则
，当且仅当
实数k，使得
时，等号成立。
或存在
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若
当且仅当立。
或存在实数k，使得
都是实数，则
，
时，等号成
知识点四：不等式的证明
1．不等式证明的理论依据：
不等式的概念和性质，实数的性质，以及一些基本的不等式： （1）若a∈R,则|a|≥0,a2≥0. （2）若a,b∈R,则a2+b2≥2ab.
（3）若a,b∈R+,则 （4）若a,b同号，则
+
≥≥2.
（5）若a,b,c∈R+,则≥ （6）若a,b∈R,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
2．证明不等式的基本方法：
比较法(作差、作商)，综合法，分析法，数学归纳法及反证法；另外还有如换元法、放缩法等。
规律方法指导
（1）基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则
考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对
于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。
（2）在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 （3）在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用,用放缩法证明时放大或缩小应适度。
（4）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使
一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。利
用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。
经典例题精析
类型一：利用基本不等式求最值
1．求下列函数的最大（或最小）值.
（1）；
（2）， ；
（3），
（4）， ；
（5）
，
思路点拨：要求最值，根据基本不等式，需要对条件进行必要的变形. 解析：
（1）∵ ，∴，∴ 当且仅当，即时取等号
∴
时，
（2）∵，∴ 当且仅当即时，.
（3）∵，∴
∴
当且仅当即时，.
（4）∵，∴
∴
当且仅当 （5）∵ ∴ 当且仅当
即
，∴
即
时，.
时，
总结升华：
1．用基本不等式求最值，一般要先对式子进行变形配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用
的方法，要学会观察学会变形.变量的范围是不可忽视的.
2．在利用平均值不等式求二元函数的最值问题时，注意通过消元，化二元问题为一元问题，要注意合
理变形，并寻求使等号成立的条件. 举一反三： 【变式1】已知值
方法一：∵
,
，且
,
,
，且
. 求
的最大值及相应的
的
∴ ∴
.
,