（Ⅱ）不等式 由 由函数
5．（全国卷Ⅰ）设函数 （Ⅰ）证明：函数 （Ⅱ）证明：
在区间；
．数列是增函数；
满足
，
得
，即．
．
，
图像可知，原不等式的解集为
．
（Ⅲ）设
，整数．证明：．
解析：
（Ⅰ）当0＜x＜1时，f′(x)=1－lnx－1=－lnx＞0 所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数， （Ⅱ）当0＜x＜1时，f(x)=x－xlnx＞x 又由（I）有f(x)在x=1处连续知， 当0＜x＜1时，f(x)＜f(1)=1
因此，当0＜x＜1时，0＜x＜f(x)＜1 ① 下面用数学归纳法证明： 0＜an＜an+1＜1 ②
（i）由0＜a1＜1, a2=f(a1)，应用式①得0＜a1＜a2＜1， 即当n=1时，不等式②成立
（ii）假设n=k时，不等式②成立，即0＜ak＜ak+1＜1
则由①可得0＜ak+1＜f(ak+1)＜1，即0＜ak+1＜ak+2＜1 故当n=k+1时，不等式②也成立 综合（i）（ii）证得：an＜an+1＜1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k，使得am≥b，则ak+1＞am≥b
否则，若am＜b(m≤k)，则由0＜a1≤am＜b＜1(m≤k)知， amlnam≤a1lnam＜a1lnb＜0 ③
ak+1=ak－aklnak=ak－1－ak－1lnak－1－aklnak??=a1－amlnam
由③知
amlnam＜k (a1lnb)
于是ak+1＞a1+k|a1lnb|≥a1+(b－a1)=b
6．（安徽）设数列 （Ⅰ）证明：
满足对任意
，
，
成立的充分必要条件是
，其中为实数。
；
（Ⅱ）设，证明：；
（Ⅲ）设 解析： （1）必要性 ： 又
充分性 ：设 当 假设 则
时，
，证明：
， ，即
，对
。
，且
，
对所有
成立
用数学归纳法证明
由数学归纳法知
（2）设 当
时，
，
，结论成立
当
时，
所以
,由（1）知
且
，
（3）设 ，
当 当
时，
时，由（2）知
，结论成立
学习成果测评
基础达标：
1．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A． B.
C.
D.
2．已知 是（ ）
，，成等差数列，成等比数列，则的最小值
A． B． C． D．
3．下列各函数中，最小值为2的是( )
A.
B. C. D.
4. 设，则的最大值为（ ）
C.
D.
A. B.
5. 若，则的最小值是（ ）
A．
B. C. D. 2
6. 若，则，，之间的大小顺序关系是（ ）
A. ＞＞ B. ＞＞
C. 7．若 A
＞＞ D. ＜＜
(； B
均为不等于零的实数)，则下列不等式成立的是（ ）
C
D
8．设 A.
,方程 B.
C.
的解是（ ） D.
9. 已知
10．已知
，, 求证：.
，且.求证：
(1) ；
(2)
11．若
.
，试求的最小值及最小值点.
12．设x+y+z=19，求函数
的最小值.
能力提升：
13．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为
,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（ ）
A.
14．函数
B. C. D.
的图象恒过定点，若点在直线上，则
的最小值为_________．