分类讨论型问题探究
分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.
例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决. 解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE＝25（m）
1AEED?由DE∥FC得，，得FC＝24（m） S△ABC= 340324=480（m2）
2ACFC12
(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S△ABC=364324=768（m）
2
A
图1
图2
说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。
练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）
A.
a?b2 B.
a?b2 C.
a?b2或
a?b2 D. a+b或a-b
2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )
(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条
3（2005年潍坊市）已知圆A和圆B相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的 半径为3cm，则圆B的半径是（ ）．
A．5cm B．11cm C．3cm D．5cm或11cm
4.（2005年北京） 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2?BD2DC，则∠BCA的度数为____________。 5、（2005年金华）直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于2
点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上， S△AMO＝S△COB，那么点
3M的坐标是 .
例题2（2005年金华）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝22. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.
MCAOBxyAGDPEHN（1）求tan∠ADE的值； FCBOQ（2）点G是线段AD上的一个动
点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关
系式；
（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线 PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.
分析：分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。
解：（1）∵ 矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝22， ∴ tan∠ADE＝
AE222
＝＝. AD84
（2）∵ DE＝AD2＋AE2＝82＋(22)2＝62，
AE221AD822＝＝，cos∠ADE＝＝＝. ED623ED623
∴ sin∠ADE＝
在Rt△DGH中，∵ GD＝x， ∴ DH＝DG2cos∠ADE＝
22
x， 3
112212∴ S△DGH＝DG2DH2sin∠ADE＝2x2x2＝x2.
22339
11
∵ S△AED＝AD2AE＝38322＝82，
22∴ y＝S△AED－S△DGH＝82－
22
x， 9
22
x＋82. 9
（3）满足条件的⊙O有4个.
即y与x之间的函数关系式是y＝－以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下： ∵ AD∥FN， ∴ △AED∽△BEF. ∴ ∠PFN＝∠ADE.
1
∴ sin∠PFN＝sin∠ADE＝. 3∵ AE＝2BE，
∴ △AED与△BEF的相似比为2∶1， ∴
AD1
＝，FB＝4. FB2
OIr1＝＝， FO4－r3
过点O作OI⊥FP，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r. ∵ sin∠PFN＝
∴ r＝1.
（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）
说明：本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质，以及二次函数的有关知识，是一道涉及面较广，体现分类思想较明显的综合性题目。
练习二
1、（2005年河南）如图1，Rt?ABC中，?C?90?,AC?12,BC?5,点M在边AB上，且AM?6.
(1)动点D在边AC上运动，且与点A，C均不重合，设CD?x
①设?ABC与?ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
②当x取何值时， ?ADM是等腰三角形？写出你的理由。
（2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？
2．（2005年河南课改）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝22，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。 ⑴求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
1
⑵若以D为圆心、为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值
2
时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。
DA
BPC
3、（2005年常州）已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（?13，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．
（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．
yAD1B-13-1O1xC-1