4、（2005年安徽）在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:
点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条?
经过思考,甲同学给出如下画法:
如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.
(2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出. (3)如图2,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A1C1∥AD.当点P在线段A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?
(4)如图3,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况.
5、（2005年上海）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。
(1)如图8，求证：△ADE∽△AEP；
(2)设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当BF＝1时，求线段AP的长.
FBPBDC图8EOAC图9（备用图）A
能力训练
1、（2005年河北课改）图15―1至15―7中的网格图均是20320的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）。侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况。当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）。
⑴在区域MNCD内，请你针对图15―1，图15―2，图15―3，图15―4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。
⑵只考虑在区域ABCD内形成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）。
①如图15―5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式； ②如图15―6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式； ③如图15―7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；
④根据①~③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况。
⑶根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶是额外加分，加分幅度为1~4分）。
2、（2005年锦州）如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为 (1)求A、B、C三点的坐标；
(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？
(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法. 注：基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分.
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3．（2005年徐州）有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2. (1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________. (2) 当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式；
(3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值(同学可在图14、
不妨用直尺和三角板C 做一做模拟实验，问题就容易解决了！ F (D) A E (图12)
B C A (图14)
B
图15中画草图).
F C G A x D E B
(图13) C A (图15)
B