兴化市文正实验学校高中部数学竞赛辅导资料
第2讲 二次函数与二次不等式
本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。 二次方程
ax2?bx?c?0(a?0)的解，是相应的二次函数
y?ax2?bx?c(a?0)中，函数值为0时x的值，即此二次函数的图象在x轴上的
截距（函数图象与x轴的交点的横坐标）。 二次不等式
ax2?bx?c?0(a?0)的解，是相应的二次函数
y?ax2?bx?c(a?0)中，函数值大于0时x的值，即此二次函数的图象在x轴上
方时x的取值范围；同样的，二次不等式ax次函数y2?bx?c?0(a?0)的解，是相应的二
?ax2?bx?c(a?0)中，函数值小于0时x的值，即此二次函数的图象在
x轴下方时x的取值范围。因此，
??0 ??0 ??0
y?ax2?bx?c(a?0)的图象
ax2?bx?c?0(a?0)的解ax2?bx?c?0(a?0)的解
x?x1或x?x2 x?x0且x?R 一切实数
x1?x?x2 无解 无解
高次不等式可以先进行因式分解，再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等式求解。
A类例题 例
a21 设二次函数y?x?2ax?(a?0)的图
22象的顶点为A，与x轴的交点为B,C，当?ABC为等边三
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角形时，求a的值。
分析 欲求a的值，需得到一个关于a的方程。因为
A是抛物线的顶点，所以
AB?AC。由?ABC是等边三角形，得AD?则a的值可求。
3BC。只要以a表示AD和BC，2a2a22解 由函数y?x?2ax?(a?0)，化简得y?(x?a)?222。因而有
a2A(?a,?)，又设B(x1,0),C(x2,0)。则
2a2x?2ax??0(a?0)22?BC?|x1?x2|?(x2?x1)2?4x1x2?4a2?4?a??2a.22
3 由?ABC是等边三角形，得AD?BC23，即|yA|?BC。
2a23所以，?(?2a)?a??6或a?0.由a?0，得所求a的值为?6.
22例2 当a（1）x（2）x22?0 时，解关于x的二次不等式
?4ax?5a2?0；
?2(a?1)x?(a2?3a?1)?0；
2（3）ax?(a2?4)x?4a?0。
分析 解二次不等式，首先应判断相应的二次方程是否有实数根，然后再根据根的不同
情况求解。
解 （1）因为 又
x2?4ax?5a2?(x?5a)(x?a)，
a?0，得5a??a。
所以，原不等式的解为x?5a或x??a。 （2）由??4(a?1)2?4(a2?3a?1)?20a?0(?a?0)，
又 二次项系数大于0，所以，原不等式无解。
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（3）因为
4ax2?(a2?4)x?4a?a(x?)(x?a)，
a4a2?444?由 a? 及a?0，得a??2时，a?；当?2?a?0时，a?. aaaa所以，当
a??2 时，原不等式的解为a?x?a?0 时，原不等式的解为
4 ； a4?x?a 。 a 当?2?例3
解高次不等式
3（1）x?7x?6?0;
2（2）x(x?6x?8)(x2?4x?3)?0.
分析 高次不等式求解的基本方法是，运用因式分解将高次多项式变形为一次或二次多
项式乘积，再通过积的符号法则求 解。
解 （1）y 由 ?x3?7x?6?x(x2?1)?6(x?1)?(x?1)(x?2)(x?3)，
x ?3 1 2 ????00????00????00? ? ? ?
x?3x?1x?2y
得原不等式的解是x??3或1?（2）y由
x?2。
?x(x2?6x?8)(x2?4x?3)?x(x?2)(x?4)(x?1)(x?3)
x ?4 ?2 0 1 3 ?0????? x?4整理：zhaqxh email：18994665679 兴化市文正实验学校高中部数学竞赛辅导资料
x?2x?????0?????0????0????0?00?????00? ? ? ? ?
x?1x?3y0?得原不等式的解是
?4?x??2,0?x?1或x?3。
链接 对于形如y?(x?x1)(x?x2)?(x?xn)(x1?x2???xn)的n次多项式，将它的n个根x1,x2,?,xn按数轴上大小顺序排列，全体实数被分成n?1个区间。当x由大到小依次取值时，每越过一个根，多项式中必有一个因式改变符号。因而，多项式
y在相邻两个区间上取的值符号相反。又当x?x1时，y?0。据此，得
不等式
(x?x1)(x?x2)?(x?xn)?0(x1?x2???xn)的解集是
??(x3,x2)?(x1,??)；
不等式
(x?x1)(x?x2)?(x?xn)?0(x1?x2???xn)来源:Zxxk.Com]的解集是
??(x4,x3)?(x2,x1)。
例如 解不等式(x?1)(2x?1)(x?3)(x?8)(3x?2)由多项式
?0。
的5个根依次为
y?(x?1)(2x?1)(x?3)(x?8)(3x?2)。所以，
?3,?12,,1和823不等式(x?1)(2x?1)(x?3)(x?8)(3x?2)?0的解集是
12(?3,?)?(,1)?(8,??)；
23同样的，不等式(x?1)(2x?1)(x?3)(x?8)(3x?2)?0的解集是
12 (??,?3)?(?,)?(1,8)。
23整理：zhaqxh email：18994665679
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情景再现
y?ax2?bx?c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。若?ABC是
直角三角形，求ac的值。
1．抛物线
2．不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0对x?R恒成立，求a的取值范围。
3．解关于x 的不等式 （1）?4?（2）
x2?5x?2?26；
。
x(x?1)(x?3)(x?5)?02x?2x?3 B类例题 例4 解不等式(x解
2?4)(x2?5x?6)(x3?1)?0。
(x2?4)(x2?5x?6)(x3?1)
?(x?2)(x?1)(x?3)(x?2)2(x2?x?1)
2?x2?x?1?0,? 原不等式等价于(x?2)(x?1)(x?3)(x?2)?0.
不等式
(x?2)(x?1)(x?3)?0的解集为
(??,?2)?(?1,3)，又当
x?2时，(x?2)2?0，
? 原不等式的解集为(??,2?2)?(?1,2)?(2,3)。
的解集是
例5 已知不等式
ax?bx?c?01(?,3)2，求不等式
cx2?bx?a?0的解集。
分析 求不等式cx2?bx?a?0的解，有两条思考途径。一是直接由条件推出
a,b,c的关系；二是寻找不等式cx2?bx?a?0与ax2?bx?c?0的联系。
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