兴化市文正实验学校高中部数学竞赛辅导资料
2解1 因为不等式ax2方程ax11得a?0且?和3是?bx?c?0的解集是(?,3)，
22?bx?c?0的两个根。
???a?0,?c?0??15?b?b5由 ?????3?,???,22?a?c3132?c?a?(?)?3??,??,??223?a?c得
ba521cx2?bx?a?c(x2?x?)?c(x2?x?)?c(x?2)(x?)
cc3331所以，不等式cx?bx?a?0的解集为(?2,)。
322解2 因为不等式ax2是方程ax11?bx?c?0的解集是(?,3)，得a?0且?和322?bx?c?0的两个根。 cx?bx?a?02于方程中，因为
a?0，得
x?0。设y?1x，方程
cx2?bx?a?0可化为ay2?by?c?0。
由
1?和32是方程
ax?bx?c?02的两个根，得
1?2和3是方程
cx2?bx?a?0的两个根。又方程的两根异号及a?0，得c?0。
1所以，不等式cx?bx?a?0的解集为(?2,)。
32
例6 解关于x的不等式：(m?3)x2?2mx?m?2?0(m?R)。
分析 由于题中x的二次项系数含有参数，应先确定不等式类别，再求解。
5解 （1）当m??3时，原不等式为?6x?5?0，解为x??；
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（2）当m0??3时，??4m2?4(m?3)(m?2)??4(m?6)
得原不等式的解为一切实数；
?m?3?0,1m?6时，由???0,?20m?6时，原不等式为9x2?12x?4?0，解为x?2的所有实数； 330?3?m?6时，m?3?0,??0，得原不等式的解为
?m?6?m?m?6?mx?或x? ;
m?3m?3
40m??3时，m?3?0,??0，得原不等式的解为
所以，原不等式 当
?m?6?m?m?6?m?x? 。
m?3m?3?m?6?m?m?6?m?x?； m??3时，解为
m?3m?35 当 m??3时，解为x??；
6?m?6?m?m?6?m或x?当?3?m?6时，解为x?;
m?3m?3当
2m?6时，解为x?的所有实数；
3当
m?6时，解为一切实数。
情景再现
4．解不等式(x5．不等式x22?9)(x2?3x?18)(x3?8)?0 。
?px?q?0的解集是{x|x??3或x?2}，求实数p,q的值。 f(x)?3x2?6x?1与g(x)?2x?4，试确定x的取值范围，使
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6．已知函数
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函数
f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方。
C类例题 例7设二次函数
f(x)满足f(x?2)?f(?x?2)，且f(x)的图象在y轴上的
2，求f(x)的解析式。
截距为1，在x轴上截得的线段长为2分析 本题给出了三个条件，“称轴为x表明|x1，表明此二次函数图象的对f(x?2)?f(?x?2)”
??2；“在y轴上的截距为1”，表明c?1；“在x轴上截得的线段长为22”，?x2|?22。由此得如下解法。
解1 由设
f(x?2)?f(?x?2)，得函数f(x)的图象的对称轴为x??2。故可
f(x)?a(x?2)2?m。
由a(x?2)2?m?0?ax2?4ax?4a?m?0，又|x1?x2|?22，
224(4a?m)得 (x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?8?4? （1）
a2又
f(x)在y轴上的截距为1，得 f(0)?1?4a?m?1 （2）
1解（1）、（2），得 a?,m??1。
2所以，
12f(x)?x?2x?1 。
2f(x)?ax2?bx?c
轴上的截距为1，得
解2 设由
f(x)在yc?1；由f(x?2)?f(?x?2)，得
来源学科网b???2，即b?4a。故f(x)?ax2?4ax?1。2a由
ax2?4ax?1?0 及 |x1?x2|?22，得
22241(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?8?4??a? 。
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所以，
f(x)?12x?2x?1 。 2解3 由函数
f(x)满足f(x?2)?f(?x?2)及在x轴上截得的线段长为
。故可设
22，可得
f(x)?0的两根为x1??2?2,x2??2?2f(x)?a(x?2?2)(x?2?2)。
由
f(x)在y轴上的截距为1，得
1。 2f(0)?1?a(2?2)(2?2)?1?a?12所以，f(x)?x?2x?1 。
2 例8已知解，求实数
f(x)?(x?1)?x?1，若关于x的方程f(x)?x?m有三个不同的实数
f(x)?(x?1)?x?1m的取值范围。
可化为
分析 函数解析式
2??x?1,x?1。它的图象是由两段抛物线弧组成，
f(x)??2??1?x,x?1因此方程
f(x)?x?m的三个不同的实数解表现为直线
y?x?m与其中一段抛物线弧有两个交点，与另一段抛物
线弧仅有一个交点。观察它们的图象易知，当x解。
解 （1）x?1时，方程有一解；当x?1时，方程有两
?1 时，由x2?1?x?m，得x2?x?1?m?0。由两根之和为
1，得此方程大于1的解至多一个。
设x?1?t，原方程可化为t2?t?1?m?0 。原方程有一个大于1
的解，即此
方程有一个正解。由?1?m?的解；
（2）x0，得m??1时，方程f(x)?x?m 有一个大于1
?1 时，由1?x2?x?m，得x2?x?1?m?0。
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设x?1?t，原方程可化为t2?3t?1?m?0 。原方程有两个小于1的解，即
此方程有两个负解。
???9?4?4m?5?4m?05由?，得?1?m?时，方程f(x)?x?m
4?1?m?0有两个小于1的解；
5综合（1），（2），当?1?m?时，关于x的方程f(x)?x?m有三个不同的实
4数解。
例9 已知a,b,c是实数，函数当?1?f(x)?ax2?bx?c，g(x)?ax?b，
x?1时，f(x)?1。
（1）证明：|c|?1； （2）证明：当?1?（3）设
x?1时，|g(x)|?2；
a?0，当?1?x?1时，g(x)的最大值为2，求f(x)。
f(x)?1,x?[?1,1]确定系数a,b,c的取
分析 证明（1）、（2）的关键在于通过值范围，即用
（3）需要通过条件“当f(x)在区间[?1,1]上的值表示系数a,b,c；
?1?x?1时，g(x)的最大值为2”，确定系数a,b,c的值。由于题设条件中多为不等关
系，因而需要注意“夹逼思想”的应用。
证明 （1）|c|?|（2）若a当?1?由
f(0)|?1；
?0，
x?1时， 则?a?b?g(?1)?g(x)?g(1)?a?b。
f(?1)?a?b?c?a?b?f(?1)?c ?|?a?b|?|f(?1)?c|?|f(?1)|?|c|?2；
f(1)?a?b?c?a?b?f(1)?c?|a?b|?|f(1)?c|?|f(1)|?|c|?2。
及
?a?b?g(x)?a?b，得|g(x)|?2；
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