兴化市文正实验学校高中部数学竞赛辅导资料
若a?0，
x?1时，则a?b?g(1)?g(x)?g(?1)??a?b。
当?1?同理可得|g(x)|?2。
所以，当?1?解 （3）由a由 由
x?1时，|g(x)|?2；
?0, 在[?1,1]上，g(x)|最大值?g(1)?a?b?2。
[来源:学科网]f(1)?a?b?c?2?c?1?c??1?c??1(?|c|?1)。
f(0)?c??1?f(x)，得x?0时，二次函数f(x)取最小值，即x?0是
二次函数
f(x)的图象的对称轴。因而，b?0,a?2。 f(x)?2x2?1 。
所以，
情景再现
7．已知抛物线坐标分别为x1,y?ax2(a?0)与直线y?bx?c(b?0)有两个公共点，它们的横
x2，又直线y?bx?c与x轴的交点坐标为(x3,0)。则x1,x2,x3满足的关
x1?x2?x3x3?x1?x2x1x2B111??x1x2x3系式是 （ ）
A
CDx1x2?x2x3?x3x18．已知抛物线y513?f(x)的顶点是(?,?)，且方程f(x)?x的两个根之差为
242，求f(x)的解析式。
9．已知二次函数
f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象与轴有两个不同的交点，若
时，
f(c)?0,0?x?cf(x)?0。
1（1） 试比较与c的大小；
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（2） 证明：?2?b??1；
abc（3） 当c?1,t?0 时，求证：???0。
t?2t?1t
习题2
1．若不等式（ ）
0?x2?px?5?1恰好有一个实数值为解，则p的取值是
Ap??42．x5Bp??25Cp??25或p?25Dp的值不存在
?x4?x?1?0.
23。求关于x的不等式42x4．设y1?ax?a2的解。
?x4?2x3?3x2?3x?5,y2?5x3?2x2?4x?15，若x取
任意实数，试比较y1与y2的大小。
5．已知关于a的不等式m2?(4?a2)m?4a2?0(|a|?1)恒成立。则实数m的取Cm?4或m?0Dm?1或m?0
值范围是 ( )
A0?m?4B1?m?46．已知关于
x的二次方程x2?2(m?1)x?m2?0有两个整数根，且
。 m2?72m?720?0，求整数m的值及相应的根。
27．求出所有实数k的值，使二次方程kx整数。
8．若对于0?x?1，不等式x9．已知二次函数
?2(3k?1)x?9k?1?0的两个根都是
2?ax?3?a?0 恒成立，求实数a的取值范围。
f(x)?ax2?bx?c和一次函数y??bx，其中a,b,c均为实数，
a?b?c且a?b?c?0
（1）证明 两函数的图像交于A,B两个不同的交点； （2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。 10．证明不存在满足下列两个条件的二次多项式
f(x)：
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（1）当|x|?1时，| （2）|
f(x)|?1；
f(2)|?8。
答 案
情景再现
1． 由?ABC是直角三角形，得
?AOC∽?COB，
因此
AOCO ?OCOBc???c2a
??AO?OB?OC2?x1x2?c2?ac??1.，
2．原不等式可化为 (2?a)x2?2(2?a)x?4?0当a?2时，原不等式为4?0，恒成立；
?2?a?0,??2?a?2; 当a?2时，?2???4(2?a)?16(2?a)?0,综上，当?2?a?2时，原不等式恒成立。
2?x??5x?2??4,23．（1）不等式?4?x?5x?2?26 等价于?
2??x?5x?2?26.解得原不等式的解是?3? （2）因为不等式xx?2或3?x?8。
2?2x?3?0恒成立，所以
等价于x(x?1)(x?3)(x?5)x(x?1)(x?3)(x?5)不等式?02x?2x?3解得原不等式的解是x??3,?0。
0?x?1或x?5。
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4． 原不等式可化为
因为 不等式 x当x(x?3)2(x?3)(x?6)(x?2)(x2?2x?4)?0，
2?2x?4?0 恒成立，又(x?3)2?0，得
?3时，原不等式等价于不等式(x?3)(x?6)(x?2)?0，
x??3或x?2(x?3)；经检验，当x?3时，原不等式不成立。
解得 ?6?所以，原不等式的解为 5． 由题意，
?6?x??3,2?x?3或x?3。
是二次方程
?3和2x2?px?q?0的两个根，所以，
p??(?3?2)?1,q??3?2??6。
6． 由题意，
f(x)?g(x)?0。
25由 (3x?6x?1)?(2x?4)?3x?8x?5?0，得1?x? 。
32所以，当1?x?5时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方。 3b?x?x?,12??y?ax2?a
7. 由 ??ax2?bx?c?0???y?bx?c?xx??c.12?a??y?bx?cc又 ??x3??.
b?y?0111??。所以，应选B。消去a,b,c,得 (x1?x2)x3?x1x2? x1x2x352138． 设f(x)?a(x?)?，则
2425a?13f(x)?x?ax?(5a?1)x??0
42由|x1所以，
?x2|?2?(5a?1)2?a(25a?13)?4?a?1。 f(x)?x2?5x?3。
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9． 由题意，c 是方程f(x)?0的根，又方程f(x)?0的两根之积为
c，所以方程af(x)?0的另一个根为
11，且f()?0。 aa来源学#科（1） 若0?#网1111?c，则f()?0，次与f()?0矛盾。所以，?c；aaaa
（2） 由
f(c)?0?ac?b?1?0?b??1?ac，又0?ac?1，得
?2?b??1；
（3） 欲证不等式等价于
?(t)?(a?b?c)t2?(a?2b?3c)t?2c?0。
由0?1?c，得f(1)?0?a?b?c?0。
??1，得
由（2）?2?ba?2b?3c?(a?b?c)?(b?2c)?0。
因此，抛物线?(t)的开口向上，且对称轴位于y轴左方。当t着t的值增加而增加。所以，当t ?(t)??(0)?0 时，?(t)的值随
?0时
?2c?0，即原命题得证。
习题2
1．
不等式
0?x2?px?5?1有唯一实数解，要求开口向上的抛物线
来源:Z&xx&k.Com]y?x2?px?5的最小值为1。
22ppp22?1?p??4。所以，由x?px?5?(x?)?5?，得5?244应选A。 2．
因为
x5?x4?x?1?(x?1)(x4?1)?(x?1)2(x?1)(x2?1)，
??1且x?1。
所以，原不等式的解为x整理：zhaqxh email：18994665679