兴化市文正实验学校高中部数学竞赛辅导资料
3．
42x2?ax?a2可化为(6x?a)(7x?a)?0， aa当a?0时，不等式的解为??x?；
67当a?0时，不等式无解；
aa当a?0时，不等式的解为?x??。
764．
y1?y2?x4?3x3?5x2?x?10?(x?2)(x?1)(x2?2x?5)
因为 当 当xx2?2x?5?0恒成立，所以，
?1?x?2 时， y1?y2 ；
??1或x?2 时， y1?y2 ；
?2 时， y1?y2 。
(m?4)(m?a2)?0。因为 0?|a|?1，不等式的解为?4。欲要原不等式恒成立，实数m的取值范围是m?0或
当x??1或x5．
原不等式可化为
m?|a|或mm?4。所以，应选C。
6．
解不等式m又x2?72m?720?0，得12?m?60。
2?2(m?1)x?m2?0，得??4(m?1)2?4m2?4(2m?1)。
由此方程有整数根， 得?为完全平方数。所以，m原方程为x当m7． 由
?24或m?40。当m?24时，
2?50x?242?0，解得x1?32或x2?18；
?40时，原方程为x2?82x?402?0，解得x1?50或x2?32。
kx2?2(3k?1)x?9k?1?0，得
6k?2?x1?x2???k??xx?9k?112?k??2x1x2?x1?x2?12
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化简得
(2x1?1)(2x2?1)?25，
?2x1?1??1,?5.?x1?0,1,3,?2.由? ???2x2?1??25,?5.?x2??12,13,3,?2.经检验， 所求k的值为
111,?,. 945。
8．
2aaf(x)?x2?ax?3?a?(x?)2?3?a?24当?a?0 即a?0 时， 2fmin(x)?f(0)?3?a?0?a?3,?0?a?3;
a当0???1 即?2?a?0 时，
2aa2fmin(x)?f(?)?3?a??0??6?a?2,24??2?a?0;当?
a?1 即a??2 时，fmin(x)?f(1)?4?0,?a??2. 2?3。
综上，所求a的取值范围是a9．（1）由ax因为
2?bx?c??bx?ax2?2bx?c?0
??4b2?4ac?4(a?c)2?0(?a?c)，所以两函数的图像交于
两个不同的交点； （2）|A1B1|2?|x1?x2|2?(x1?x2)2?4x1x2
b2c4(a?c)2c2 ?4()?4??4(1?).
2aaaa?a?0,c?0,?a?b?c? 又 ???c1
?2???.?a?b?c?0?a2?所以，线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围是(3,6)。
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10．（反证法）反设存在满足条件的二次多项式
f(x)?ax2?bx?c，
f(1)?f(?1)f(1)?f(?1)则c?f(0);b?;a??f(0).
22由题意，|f(0)|?1;|f(1)|?1;|f(?1)|?1，所以
|f(2)|?|4a?2b?c|?|3f(1)?f(?1)?3f(0)|?3|f(1)|?|f(?1)|?3|f(0)|?7.此与|
f(2)|?8 矛盾。所以满足条件的二次多项式不存在。
f(2)|?7）
（由证明过程，得原题中条件（2）可强化为|
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