?O1?H?H?G ?BO2??H?G
?O1?O2??B?O2?,O1?O2??O2?O2,B?O2??O2?O2?O2? ?O1?O2??平面B?BO2O2?
?O1?O2??BO2? ?BO2??H?B?
?H?B??H?G?H?
?BO2??平面H?B?G.
（湖北卷）
18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力
和推理论证能力。（满分12分）
解法1：（Ⅰ）由已知可得CC1?32,CE?C1F?EF22?(2222)2?23 ?AB2?(AE?BF),EF?C1E?222?(2)?CC1
22?6 于是有EF?C1E2?C1F,CE22?C1E2所以C1E?EF,C1E?CE
又EF?CE?E,所以C1E?平面CEF. 由CF?平面CEF,故CF?C1E.
6,CE?23 （Ⅱ）在?CEF中，由（Ⅰ）可得EF?CF?
于是有EF2+CF2=CE2，所以CF?EF.
又由（Ⅰ）知CF ?C1E，且EF?C1E?E，所以CF ?平面C1EF， 又C1F?平面C1EF，故CF ?C1F。
于是?EFC1即为二面角E—CF—C1的平面角。
由（Ⅰ）知?C1EF是等腰直角三角形，所以?BFC1?45?，即所求二面角E—CF—C1的大小为45?。
解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得
A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,32),E(0,0,22),F(3,1,2)
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????? （Ⅰ）C1E?(0,?2,?????2),CF?(3,?1,2)
?????????C1E?CF?0?2?2?0
?CF?C1E.
???? （Ⅱ）CE?(0?,2,2，2)设平面CEF的一个法向量为
m?(x,y,z)
??????????????m?CE?0,由m?CE,m?CF,得? ??????m?CF?0,???2y?22z?0,可取m?(0,即???3x?y?2z?02,1)
设
n,由侧
??n面
?BC1
?,B?1C及?的
n,一
??C?个
? C(法
?向
?量
?1为
?,?0?)?3C,B
CC1?(0,0,32),可取n?(1,3,0)
设二面角E—CF—C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得
cos??|m?n||m|?|n|?63?2?22，所以??45?
即所求二面角E—CF—C1的大小为45?。
（湖南卷） 19．（本题满分12分）
解析：（I）因为OA?OC,D是AC的中点,所以AC?OD.
又PO?底面?O,AC?底面?O,所以AC?OD.PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC?平面POD;
（II）由（I）知，AC?平面POD,又
AC?平面PAC,所以平面POD?平面PAC,在
平面POD中，过O作OH?PD于H,则
OH?平面PAC,连结CH，则CH是
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OC在平面PAC上的射影，所以?OCH是直线OC和平面PAC所成的角．
在Rt?POD中,OH?PO?ODPO?OD222??2?12?2
314在Rt?OHC中,sin?OCH?（江西卷）
OHOC?23
解：（1）设PA?x，则VA?-PBCD?213xPA?S底面PDCB?13x(2?x2x)
令f(x)?1323x(2?x2)?2x33?6,(x?0)
则f?(x)? x?x22
(0,233?) 233 (233,??) f?(x) f(x) 0 ? 单调递增 极大值 单调递减 由上表易知：当PA?x?233时，有VA?-PBCD取最大值。
证明：
（2）作A?B得中点F，连接EF、FP 由已知得：EF//12BC//PD?ED//FP
?A?PB为等腰直角三角形，A?B?PF 所以A?B?DE. （辽宁卷） 18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=
22PD，则PQ⊥QD
13
所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分 （II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V1?1322a.
3由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=2a，△DCQ的面积为a，
2所以棱锥P—DCQ的体积为V2?13a.
3故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分 （全国卷） 20．解法一：
（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2， 连结SE，则SE?AB,SE?223.
2 又SD=1，故ED?SE?SD， 所以?DSE为直角。
…………3分
由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E， 得AB?平面SDE，所以AB?SD。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以SD?平面SAB。
（II）由AB?平面SDE知， 平面ABCD?平面SED。
…………6分
作SF?DE,垂足为F，则SF?平面ABCD，
SD?SEDE32 SF??.
作FG?BC，垂足为G，则FG=DC=1。 连结SG，则SG?BC， 又BC?FG,SG?FG?G，
故BC?平面SFG，平面SBC?平面SFG。 作FH?SG，H为垂足，则FH?平面SBC。 FH?SF?FGSG?37…………9分
，即F到平面SBC的距离为
217.
由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有
217.
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设AB与平面SBC所成的角为α， 则sin??dEB?217,??arcsin217.
…………12分
解法二：
以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。
设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。
又设S(x,y,z),则x?0,y?0,z?0.
???????????? （I）AS?(x?2,y?2,z),BS?(x,y?2,z)，DS?(x?1,y,z)，
????????由|AS|?|BS|得
(x?2)?(y?2)?z222?x?(y?2)?z,
222故x=1。
????22由|DS|?1得y?z?1,
????222又由|BS|?2得x?(y?2)?z?4,
1232即y?z?4y?1?0,故y?22,z?. …………3分
?????33???33),AS?(?1,?,),BS?(1,?,)， 于是S(1,,22222213?????????????????13???DS?(0,,),DS?AS?0,DS?BS?0.
22故DS?AD,DS?BS,又AS?BS?S, 所以SD?平面SAB。
（II）设平面SBC的法向量a?(m,n,p)，
????????????????则a?BS,a?CB,a?BS?0,a?CB?0. ?????33???),CB?(0,2,0), 又BS?(1,?,22?33p?0,?m?n?故? 22?2n?0.? …………9分
????取p=2得a?(?3,0,2),又AB?(?2,0,0)。
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