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（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次．若记下的13个数之和等于﹣4，平方和等于14．求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数． 考点： 列表法与树状图法． 专题： 分类讨论． 分析： （1）根据题意画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解； （2）设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z，根据摸出的次数、13个是的和、平方和列出三元一次方程组，然后求解即可． 解答： 解：（1）根据题意画出树状图如下： 所有等可能的情况数有9种，其中两次记下之数的和大于0的情况有3种， 则P==； （2）设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z， 由题意得，， ③﹣②得，6x=18， 解得x=3， 把x=3代入②得，﹣2×3+z=﹣4， 解得z=2， 把x=3，z=2代入①得，y=8， 所以，方程组的解是， 故摸到球上所标之数是0的次数为8． 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，难点在于（2）列出三元一次方程组． 25．（8分）（2014?无锡）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：
=
．（这个比值
叫做AE与AB的黄金
比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
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考点： 作图—应用与设计作图；黄金分割． 专题： 作图题． 分析： （1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案； （2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可． 解答： （1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC， ∴设AB=2x，BC=x，则AC=x， ∴AD=AE=（﹣1）x， ∴==． （2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图： ． 点评： 此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质，根据已知得出底边作法是解题关键． 26．（10分）（2014?无锡）如图，二次函数y=ax+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1． （1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．
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考点： 二次函数综合题．
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专题： 几何综合题． 分析： （1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例得出==，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（﹣4，0）； 22（2）先将A（﹣4，0）代入y=ax+bx，化简得出b=4a，即y=ax+4ax，则顶点F（﹣2，﹣4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在抛物线y=ax+4ax上，得出3k=a﹣4a，化简得到k=﹣a．再由△FCD与直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出222∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC=CD=1+a，得出△FCD是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形内角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，进而得到此二次函数的关系式为y=﹣x﹣4x． 解答： 解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M． ∵AC：BC=3：1， ∴=． ∵CM∥OA， ∴△BCM∽△BAO， ∴===， 22∴OA=4CM=4， ∴点A的坐标为（﹣4，0）； （2）∵二次函数y=ax+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0）， ∴16a﹣4b=0， ∴b=4a， ∴y=ax+4ax，对称轴为直线x=﹣2， ∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）． 设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入， 得﹣4k+n=0， ∴n=4k， ∴直线AB的解析式为y=kx+4k， ∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）． 2∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax+4ax上， ∴3k=a﹣4a， ∴k=﹣a． ∵△AED中，∠AED=90°， ∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形， ∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°， ∴∠FCD=90°， ∴△FCD∽△AED． ∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a， 22222222∴FC=（﹣1+2）+（3k+4a）=1+a，CD=（﹣2+1）+（2k﹣3k）=1+a， ∴FC=CD， ∴△FCD是等腰直角三角形， ∴△AED是等腰直角三角形， ∴∠DAE=45°， ∴∠OBA=45°， ∴OB=OA=4，
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∴4k=4， ∴k=1， ∴a=﹣1， ∴此二次函数的关系式为y=﹣x﹣4x． 2 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，两点之间的距离公式、抛物线对称轴的求法，函数图象上点的坐标特征．综合性较强，有一定难度．（2）中得出△FCD是等腰直角三角形是解题的关键． 27．（10分）（2014?无锡）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）． （1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量； （2）求y关于x的函数关系式；
（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？ 考点： 一次函数的应用． 专题： 应用题． 分析： （1）由题意可以知道第1个月的发电量是300×5万千瓦，第2个月的发电量为[300×4+300（1+20%）]万千瓦，第3个月的发电量为[300×3+300×2×（1+20%）]万千瓦，第4个月的发电量为[300×2+300×3×（1+20%）]万千瓦，第5个月的发电量为[300×1+300×4×（1+20%）]万千瓦，第6个月的发电量为[300×5×（1+20%）]万千瓦，将6个月的总电量加起来就可以求出总电量． （2）由总发电量=各台机器的发电量之和根据（1）的结论设y与x之间的关系式为y=kx+b建立方程组求出其解即可； （3）由总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用，分别表示出ω1，ω2，再根据条件建立不等式求出其解即可． 解答： 解：（1）由题意，得 第2个月的发电量为：300×4+300（1+20%）=1560（万千瓦）， 今年下半年的总发电量为：300×5+1560+300×3+300×2×（1+20%）+300×2+300×3×（1+20%）+300×1+300×4×（1+20%）+300×5×（1+20%）， =1500+1560+1620+1680+1740+1800， =9900（万千瓦）． 答：该厂第2个月的发电量为1560万千瓦；今年下半年的总发电量为9900万千瓦； （2）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得 ，
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解得：， ∴y=60x+1440（1≤x≤6）． （3）设到第n个月时ω1＞ω2， 当n=6时，ω1=9900×0.04﹣20×6=276，ω2=300×6×6×0.04=432，ω1＜ω2不符合． ∴n＞6． ∴ω1=[9900+360×6（n﹣6）]×0.04﹣20×6=86.4n﹣242.4， ω2=300×6n×0.04=72n． 当ω1＞ω2时，86.4n﹣242.4＞72n，解得n＞16.8，∴n=17． 答：至少要到第17个月ω1超过ω2． 点评： 本题考查了一次函数的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，总利润=发电盈利﹣发电机改造升级费用，解答时求出一次函数解析式是解答本题的关键． 28．（10分）（2014?无锡）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）； （2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S． ①试求S关于t的函数关系式； ②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．
考点： 相似形综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题． 分析： （1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标； （2）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论． 答图2﹣1，答图2﹣2表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解； ②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值． 解答： 解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E， 由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．