第一章：集合、常用逻辑用语（必修1，选修1）
1．集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体． ①表示： 列举法、描述法、venn图法、区间表示法． ②分类：有限集(含空集)、无限集 ③元素：确定性、互异性、无序性
④常见数集的字母表示：自然数N，正整数N*,N?, 有理数Q，实数集R 2．集合间的关系：包含（子集）、真包含（真子集）、相等 ①证明：任意 x?A，都有x?B，则 A?B
n②集合有 n 个元素，则子集、真子集、非空子集、非空真子集有2、23．性质
①空集是任何非空集合的真子集 ②任何集合是它本身的子集 ③空集是任何集合的子集
④包含、真包含的传递性（若A?B,B?C,则A?C） 4．全集、补集 补集：CSA?交集：并集：性质：
n?1,2n?1，2n?2个
?x|x?S且x?A?
A?B??x|x?A且x?BA?B??x|x?A或x?B?
?
A?A?A、A?A?A；A????、A???A；CAA??、
CA??A;CA(CAB)?B;
摩根律：CU(A?B)?(CUA)?(CUB);CU(A?B)?(CUA)?(CUB) （交的补=补的并、并的补=补的交） 5．命题及其关系
①简单命题：不含逻辑联结词或、且、非 ②复合命题：简单命题 + 逻辑联结词 ③四种命题
原命题：若 p , 则 q 否命题：若
?p , 则?q （注意与命题的否定区别：命题的否定是仅否定结论）
逆命题：若 q , 则 p 逆否命题：若 原命题
?q q , 则?p
?逆否命题， 否命题?逆命题
④判断命题的真假可选用“直接法”和“间接法”，“间接法”包含以下途径：
（1）转化为“非命题”判定；（2）转化为“逆否命题”判定；（3）从集合的角度判定；
（4）从几何意义的角度“数形结合”判定．
关键是“抓住关联字词”：不“或”即“且”，不“且”即“或”．
（5）“或”命题的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且”命题的特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的特点是“一真一假”．
6．充要条件（分清条件与结论） ① p ② p
? q , p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件
? q , p 是 q 的必要条件； q 是 p 的充分条件
1
③ p ? q , p 是 q 的充要条件；q 是 p 的充要条件 友情提醒：学会从集合的观点理解集合
A是B的充分（不必要）条件?A?B（A ? B） ? A是B的必要（不充分）条件?A?B（A ? B） A是B的充要条件?A?B 7．反证法
①步骤 (1)反设 ；(2)归谬； (3)否定假设，从而肯定原结论 ②命题否定
“ p或 q ”否定：>p 且 > q ; “p 且 q”否定：>p 或 > q “至少有一个”否定：一个也没有 “至多有一个”否定：至少有两个 “都是”否定：不都是（至少有一个不是） 8．存在量词与全称量词
①量词：（1）全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词
（2）存在量词：“有一个”“存在一个”“有些”等表示部分的量词
②含有量词的命题：（1）全称命题：含有全称量词的命题．?x?M,p(x)
（2）存在命题：含有存在量词的命题．?x?M,p(x)
9．含有一个量词的命题的否定
“?x?M,p(x)”的否定为“?x?M,?p(x)” “?x?M,p(x)”的否定为“?x?M,?p(x)”
?第二章：函数（必修1）
1．映射：设A、B是两个集合，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射． 映射：每元有象，象唯一
2．函数：设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的函数． （1）三要素：定义域、值域，对应法则
（2）与x轴垂直的直线与函数图象至多有一个公共点，而与y轴垂直的直线与函数图象的公共点可能没
有，可能任意个．
（3）函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象． 3．函数性质
（1）单调性：某一个区间A，?x1< x2,
x1,x2 ?A
①若 f(x1) < f(x2) , 则 f(x) 在 A 上递增；若f(x1) > f(x2) , 则 f(x) 在A 上递减 特殊地：当 f(x) > 0 时 若
f(x1)f(x1)?1，则f(x) 在A上递增；若 ?1，则f(x)在A递减 f(x2)f(x2)②复合函数单调性：同增异减
③两函数和的单调性：增 + 增=增； 减+减=减（在公共区间上）
2
④最值：设函数的定义域为A
f(x0)恒成立，则称f(x0)为y?f(x)的最大值，记为ymax?f(x0)
如果存在x0?A,有f(x)?f(x0)恒成立，则称f(x0)为y?f(x)的最小值，记为ymin?f(x0)
（2）奇偶性：（定义域关于原点对称）
奇?f??x??f?x??0?图像关于原点对称?f?0??0偶?f?x??f??x??f(x)?图像关于y轴对称 两函数积的奇偶性：同偶异奇
（3）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同．
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相反．
（4）复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外” ４．对称性：
关于x轴????? y?f(x)-y代y关于y轴????? y?f(?x)
-x代x如果存在x0?A,有f(x)?(若在x?0处有定义)
①
y??f(x)；y?f(x)
关于原点?? f(y,x)?0 ?y??f(?x)；f(x,y)?0??? y?f(x)?????-x代x, -y代y关于y=xy?x?my??x?my?f(x)?关于????x?m?f(y?m);y?f(x)?关于??????x?m?f(?y?m)
推广：函数y?f(x),y?f(A?x)的图象关于直线x?A对称；
2函数
y?f(x),y?m?f(n?x)的图象关于(n,m)成中心对称．
22②函数
f(x)满足f(a?x)?f(b?x), 则函数y?f(x)的图象关于x?f(x)满足f(a?x)?f(a?x) , 则图象关于 x = a 对称
a?b2对称．
特例：函数
③两个函数
y?f(a?x),y?f(b?x)的图象关于(a?x)?(b?x)?0即x?b?a对称 2y?f(a?x),y?f(a?x)的图象关于x?0对称．
５．周期性：对于定义域中的每一个值，都有f(x?T)?f(x)．
若f(x)为周期函数，则y?f(x) 的定义域为无限集．
特例：两个函数
两次对称可得周期（类比三角函数得）： 若
y?f(x)的图象有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为
T?2a?b
若
y?f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为
T?2a?b
若
y?f(x)的图象有一个对称中心(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函
3
数，且一周期为T特别地：若
?4a?b
1、1）恒成立，则T?f(x)f(x)f(x?a)??f(x)(a?0)（或?2a
６．函数的图象变换（尤其要掌握三角函数图像的变换） ①平移：左+右—，上+下-
②伸缩：注意x的系数的变化与横坐标的变化的关系（反比）．
x横坐标伸长为原来的k倍y?f(x)???????????y?f()
ky?f(x)???????????y?kf(x)
纵坐标伸长为原来的k倍③对称：参见4.
注：（1） 图象变换中，特殊点、特殊线也应作相应的变换．
?（2） 函数y?f(x)的图象按向量a?(h,k)平移后，得函数y?k?f(x?h)的图象
指数函数、对数函数、三角函数、“鱼钩”函数等）联系．
（3） 图象变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、
７．指数函数与对数函数
①
y?ax与y?logax互为反函数（a>0且a≠ 1）
a?a,amnnm?mn②指数运算性质、根式转化为分数指数幂： ③对数运算性质：
?1/amn
aN?b?logaN,a0?1?loga1?0,logaa?1,lg2?lg5?1；logex?lnx
mlogam?logan?logamn; logam?logan?loga;
nn1logambn?logab; loganM?logaM;
mn alogaN?N; logab?logcb;
logca④比较大小：(1)利用单调性，注意与 0、1、-1 的比较．
(2)loga
b的值的范围界定：当底数和真数同大于1或同小于1时，对数的值大于0；当
4
底数和真数一个大于1，另小于1时，对数的值小于0． 注意：①形如
． y?ax2?bx?c的函数，不一定是二次函数（可称为伪二次）
②应特别重视“二次三项式”，“二次函数”，“二次方程”，“二次曲线”间的特别联系． ③形如
ax?b(c?0,ad?bc)的图象是等轴双曲线，双曲线的两渐近线的方程为：
cx?ddadax??,y?，双曲线的中心是点(?,)．
ccccy?
８．幂函数：形如
y?x?的函数．
????1????0:???1????1????①图像：分???0几种情形，可结合具体函数的图像加以掌握．
?????1?????0????1?????1???②根据图像研究性质（奇偶性、单调性、对称性） 若?若??1,则y?x，图像是直线．
?0,则y?x0?1(x?0)，图像是除（0，1）外的直线．
若0???1,，图像过（0，0），（1，1），在第一象限是上凸的． 若??1,，图像过（0，0），（1，1），在第一象限是下凹的． 若??0，图像（1，1）．
单调性：当??0时，在第一象限内奇偶性：令?y?x?递增；当??0时，在第一象限内y?x?递减．
?p（既约分数） q 若若
p,q都是奇数，则函数y?x?是奇函数；
p是奇数，q是偶数，则函数y?x?是非奇非偶函数； p是偶数，q是奇数，则函数y?x?是偶函数．
若
5