９．函数与方程
①函数的零点：一般地，方程②零点存在定理：如果函数那么函数的根．
③二分法：对于区间[a,b]上连续的，且
f(x)?0的实数根又叫函数y?f(x)的零点．
y?f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0，
y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0，这个c也就是f(x)?0f(a)?f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数零点所
在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．
第四章 三角函数（必修4、必修5）
1．角
（1）分类：正角（逆时针）、零角、负角（顺时针）；象限角、象间角（终边落在坐标轴上的角）． （2）终边相同的角的集合：{?|????2k?,k?Z}
?终边与?终边相同（?终边在?终边所在射线上）?????2k?(k?Z)
?终边与?终边共线（?终边在?终边所在直线上）?????k?(k?Z) ?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z) ?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z) ?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z)
一般地，?终边与?终边关于?的终边对称???2????2k?(k?Z);
?2
所处的象限：
? ?2 Ⅰ ⅠⅢ Ⅱ ⅠⅢ Ⅲ ⅡⅣ Ⅳ ⅡⅣ （3）角度制、弧度制及其关系1???180180rad; 1rad?()??57.3?
?（4）扇形中的有关结论：l?|?|r；l?n?r；S?1lr；S?1802n?r2 3602．三角函数
（1）定义：若点P（x,y），以Ox为始边，OP为终边所成的角为?,|OP|=r， 则sin??yxy，cos??，tan??， rrx符号：（一正二正弦；三切四余弦） 正弦：一、二象限为正；三、四象限为负． 余弦：一、四象限为正；二、三象限为负． 正切：一、三象限为正；二、四象限为负． 注：sin15??cos75??6?22;sin75??cos15??6?22;tan15??cot75??2?3 tan75??cot15??2?3;sin18??5?1 4 Y （2）三角函数线（有向线段的数量） a:利用三角函数线求角的取值范围； A P X T
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b:??(0,?2)?sin????tan? M
（3）基本关系
平方关系：sin2??cos2??1
商数关系：tan??sin?
cos?
（4）诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)
第一组：（函数名不变；符号看象限）
sin(??)??sin?；sin(???)?sin?；sin(???)??sin?；
（k?Z） sin(2???)??sin?；sin(2k???)?sin?；
第二组：（函数名改变；符号看象限）
sin(????)??cos?； sin(??)??cos?； ??)?cos?； sin(??)?cos?；sin(22223?3?（5）倍角公式：sin2?2tan?；
1?tan2?cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；
1?cos2?1?cos2?2降次公式：sin2??；cos??
22?2sin??cos?；tan2??（6）辅助角公式：asin??bcos??a2?b2sin(???)；
其中?所在象限由a,b的符号确定，值由tan??b确定
a特别地：sin??cos??2sin(??? )4（7）三角变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，核心是角的变换．
角的变换主要是：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差的变换．如??(???)???(???)??;2??(???)?(???);????2?????????;?(??)?(??) 2222 常值变换主要是“1”的变换：1?sin2x?cos2x?sec2x?tan2x?tan 三角式的变换主要有：三角函数名互化，次数的升降，运算结构的转化 注意正余弦“三姐妹”
?4?sin?2?cos0??等
sinx?cosx,sinxcosx的内在关系（常和三角换元联系：如令
t2?1sin??cos??t,则sin??cos??）
2（8）正、余弦函数的图象和性质：（图象、定义域、值域、奇偶性、单调区间 及单调性、最小正周期、对称中心、对称轴等等．）
正弦函数：对称中心：(k?,0)，对称轴：x?k??余弦函数：对称中心：(k??正切函数：对称中心：(?2(k?z)
?2,0)，对称轴：x?k?(k?z)
k? ,0)（k?Z）2 ①注意：绝对值对三角函数周期的影响．一般来说，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：
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弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定．如
y?sin2x,y?sinx的周期是?，但y?sinx?cosx的周期是?， y?tanx的周期不
2变．
y?sinx2,y?sinx,y?cosx不是周期函数．
②三角函数图象的作法：五点法、三角函数法，变换法． （9）图象变换
平移变换：①x轴方向上的平移：左加右减．②
y轴方向上的平移：上加下减
伸缩变换：①x轴方向上的伸缩（周期变换）．②y轴方向上的伸缩（振幅变换）．
对称变换：①复制（保留原有部分）②翻折（不保留原有部分） 须掌握三种图像变换与对应的函数解析式的变化关系． （10）常见方法：
切化弦法；“1”的恒等变形；齐次式的处理方法；“变角”，“变名”，“变形”在求值，化简，证明中的应用，等等． ３．解三角形
①三角形中的结论：
内角和定理：A+B+C=?
正、余弦定理：
abc????2R??sinAsinBsinC??边角转换 222b?c?a?cosA?等?2bc?2 勾股定理：（余弦定理特例）a 类似地：?C 面积公式：S?b2?c2?sin2A?sin2B?sin2C??C?90?
?90??c2?a2?b2;?C?90??c2?a2?b2
?1111absinC?acsinB?bcsinC??底?高 2222?a?b?c? 有关边的不等式：?a?c?b
?b?c?a?②三角形中常见诱导公式有：
?sin(A?B)?sinC??cos(A?B)??cosC ?tan(A?B)??tanC?C?A?Bsin?cos?22?A?BC? cos?sin?22?A?BC?tan?cot?22?(?B?)?sinC2?sin2A?(?B?)coCs2?cos2A?tan2A(?B?)?tanC2?
③解三角形：可能有两解、一解、无解．
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（1） 知三边： （2） 已知两边一角：
A?90? 一解 无解 无解 A?90? 一解 无解 无解 A?90? 一解 一解 a>bsinA两解 a=bsinA一解 a 第五章：平面向量（必修4） 1．向量 ① 有大小、有方向，用有向线段表示；区别向量与起点无关，有向线段与起点有关． ②分类：平行向量（共线向量），相等向量，零向量（与任一向量平行） 2．向量加法（减法） ① 三角形法则 ②平行四边形法则 ????注意：掌握单位向量（与AB共线的单位向量是?平行向量、相等向量、相反向量． ????AB，特别地：(????AB????????????????ABACABAC）、?????????)?(?????????)ABACABAC向量的平行无传递性（因为有零向量），向量相等有传递性． 3．a?b?????????a?b?a?b ????????当a,b同向或有为0时，右边等号成立；当a,b反向或有0时，左边等号成立；a,b不共线，两边等号 不成立． 4．实数与向量积（仍为向量） ①?a??a ②??0,与a同向;?<0,与a反向 5．向量共线充要条件： ????????①b与非零向量a共线?有且只有一实数?,使得b??a ?????②a?b共线?不全为0的实数m,n，使ma?nb?0 6．平面向量基本定理： ① ??????同一平面内的两个不共线的向量e1,e2,平面内的所有向量a，有且只有一对实数?1,?2,使得 ??????a??1e1??2e2． 9 ② ?????e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的基底． 7．平面向量坐标运算： ①点M(x1,y1),点N(x2,y2),则MN?(x2?x1,y2?y1) ②若a?(x1,y1),b?(x2,y2) ?1?a?b??x1?x2,y1?y2? ?2??a???x1,?x2? （3）a//b?x1y2?x2y1?0（借助 ??????????x1y?1记） x2y2??? ?4?a?b?x1x2?y1y2?0 ?5?a?8．平面向量的数量积（此为数） 22 x1?y1①a?b?abcos?,(0????)=x1x2?y1y2 ???????②bcos?为b在a方向上的投影 ????③a?b?a?b?0 ④不超过2个向量的运算与数的运算基本一致． ⑤a?a ?2?2??a⑥与向量a同向的单位向量可表示为? |a|?????????? 注意：?a,b?为锐角?ab?0,且a,b不同向，即a?b?0是?a,b?为锐角的必要不充分条件． ???????????a,b?为钝角?ab?0,且a,b不反向，即a?b?0是?a,b?为钝角的必要不充分条件． 9．点的坐标平移公式： 点P（x ,y） ??????????? 点P'(x',y')其中x'?x?h,y'?y?k(a?PP') ?按a?(h,k)平移?按a?(h,k)平移y?f?x?????? y?k?f?x?h?， 特别提醒：向量平移后坐标不变． 10．平面向量与其他知识的综合（比较） （1） 与平几： a) P为AB的中点?OP?1(OA?OB) 2 10