二十世纪数学哲学
——一个自然主义者的评述
（2010年3月定稿）
叶峰
北京大学外国哲学研究所
本书得到教育部人文社会科学重点研究基地重大项目“20世纪西方逻辑哲学和数学
哲学”的支助
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目录
前言 ............................................................................... 6 1. 当代数学哲学的核心问题与主要特征................................................ 6 2. 本书的目的、内容、与写作策略.................................................... 7 3. 致谢............................................................................ 9 第一章 数学哲学的基本问题 ......................................................... 11 1.1 关于数学对象的本体论问题...................................................... 11 1.1.1 朴素的数学实在论及其认识论难题............................................ 12 1.1.2 朴素的数学反实在论及其可应用性难题........................................ 13 1.1.3 二十世纪各数学哲学流派对本体论问题的回答.................................. 14 1.2 关于数学语言的意义问题........................................................ 17 1.2.1 数学实在论的意义理论及其难题.............................................. 17 1.2.2 数学反实在论的意义理论及其难题............................................ 18 1.2.3 二十世纪各数学哲学流派对意义问题的回答.................................... 20 1.3 关于数学知识的认识论问题...................................................... 20 1.3.1 数学实在论的认识论难题.................................................... 20 1.3.2 数学反实在论的认识论任务.................................................. 22 1.4 数学的分析性与先天性.......................................................... 23 1.4.1 什么是数学的分析性与先天性问题............................................ 23 1.4.2 传统哲学的回答............................................................ 24 1.4.3 二十世纪数学哲学流派的各种回答............................................ 25 1.5 数学的客观性.................................................................. 26 1.5.1 数学的客观性与数学对象的客观存在性........................................ 26 1.5.2 数学的客观性问题.......................................................... 28 1.6 数学的可应用性................................................................ 30 1.6.1 数学实在论并未清楚解释可应用性............................................ 30 1.6.2 什么是真正的可应用性问题？................................................ 30 1.6.3对可应用性的解释可能支持反实在论 .......................................... 31 1.7 数学哲学研究的意义............................................................ 32 1.7.1 二十世纪数学哲学的演变.................................................... 33 1.7.2 数学哲学研究的意义........................................................ 33 第二章 一种自然主义数学哲学 ....................................................... 36 2.1 自然主义的基本信念............................................................ 36 2.1.1 什么是自然主义的基本信念？................................................ 37 2.1.2 自然主义的认识论.......................................................... 38 2.1.3 自然主义的指称理论........................................................ 40 2.1.4 自然主义背景下的真理与逻辑................................................ 41 2.1.5 自然主义与抽象实体........................................................ 43 2.2 自然主义数学哲学的任务........................................................ 43 2.2.1 从虚构主义开始............................................................ 43 2.2.2 虚构主义的不足............................................................ 45
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2.2.3 自然主义数学哲学的任务 ................................................... 46 2.3 数学语言的意义与数学知识 ..................................................... 47 2.3.1 自然主义框架下的数学语言的意义 ........................................... 47 2.3.2 自然主义框架下的数学知识 ................................................. 49 2.4 数学的客观性 ................................................................. 50 2.4.1 涉及思想与事物的联系的客观性 ............................................. 50 2.4.2 概念的客观性 ............................................................. 51 2.4.3 规则的客观性 ............................................................. 52 2.4.4 想象事物时的客观性 ....................................................... 53 2.5 数学的分析性、先天性与必然性 ................................................. 54 2.5.1 自然主义框架下的先天性问题 ............................................... 54 2.5.2 概念框架与分析性 ......................................................... 56 2.5.3 经验知识库与先天性的定义 ................................................. 57 2.5.4 内在知识 ................................................................. 58 2.5.5 算术是分析的、先天的吗？ ................................................. 59 2.5.6 逻辑与算术是必然的吗？ ................................................... 60 2.6 数学的可应用性 ............................................................... 61 2.6.1 数学的可应用性问题的自然化 ............................................... 61 2.6.2 解释可应用性的一个策略 ................................................... 63 第三章 十九世纪的数学基础研究 ..................................................... 66 3.1 十九世纪的分析严格化运动 ..................................................... 66 3.1.1 十七、十八世纪的微积分与数学分析中的问题 ................................. 67 3.1.2 十九世纪的分析严格化运动 ................................................. 68 3.1.3 从自然主义的角度看分析严格化运动 ......................................... 68 3.2 康托尔与戴德金的实数理论 ..................................................... 71 3.2.1 康托尔与戴德金的实数理论的要点 ........................................... 71 3.2.2 对实数理论的自然主义解读 ................................................. 73 3.3 戴德金的自然数理论 ........................................................... 74 3.3.1 戴德金的自然数理论的要点 ................................................. 74 3.3.2 戴德金的自然数理论的难点 ................................................. 75 3.3.3 对戴德金的理论及其难点的自然主义分析 ..................................... 76 3.3.4 皮亚诺的自然数公理 ....................................................... 77 3.4 悖论与数学基础的危机 ......................................................... 77 3.4.1 康托尔的集合论 ........................................................... 78 3.4.2 集合论的悖论与数学基础危机 ............................................... 79 3.4.3 从自然主义角度的分析 ..................................................... 80 第四章 弗雷格与逻辑主义 ........................................................... 83 4.1 弗雷格的概念文字 ............................................................. 84 4.1.1 弗雷格的逻辑贡献 ......................................................... 84 4.1.2 弗雷格果真将直观知识还原为逻辑了吗？ ..................................... 86 4.2 弗雷格的概念实在论与反心理主义 ............................................... 89 4.2.1 弗雷格的概念实在论思想的要点 ............................................. 89
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4.2.2 从自然主义的角度看概念实在论.............................................. 90 4.2.3 从自然主义的角度看心理主义................................................ 92 4.3 弗雷格的算术哲学.............................................................. 93 4.3.1 弗雷格的算术哲学的要点.................................................... 93 4.3.2 数词必须指称对象吗？...................................................... 96 4.3.3 弗雷格的认识论难题........................................................ 97 4.4 罗素的类型论.................................................................. 99 4.4.1 简单类型论的基本思想及其难题............................................. 100 4.4.2 分支类型论的基本思想及其难题............................................. 103 4.4.3 无穷公理及其问题......................................................... 105 4.4.4 从自然主义角度看类型论................................................... 106 第五章 直觉主义 .................................................................. 108 5.1 与直觉主义相关的前期思想..................................................... 108 5.1.1 克罗内克的直觉主义思想................................................... 108 5.1.2 彭加勒的数学哲学思想..................................................... 109 5.1.3 其它接近直觉主义倾向的思想............................................... 111 5.2 布劳维尔的直觉主义........................................................... 111 5.2.1 布劳维尔的直觉主义数学哲学的要点......................................... 111 5.2.2 从自然主义的角度看布劳维尔的直觉主义..................................... 114 5.3 达米特的直觉主义............................................................. 116 5.3.1 达米特的数学直觉主义的要点............................................... 116 5.3.2 从自然主义的角度看达米特对经典数学的批评................................. 118 5.3.3 从自然主义的角度看达米特的验证论意义理论................................. 121 5.4 构造主义..................................................................... 122 第六章 形式主义与不完全性定理 .................................................... 125 6.1 希尔伯特方案................................................................. 126 6.1.1 希尔伯特的有穷主义数学................................................... 126 6.1.2 希尔伯特的证明论思想..................................................... 130 6.2 哥德尔不完全性定理........................................................... 132 6.2.1 哥德尔第一不完全性定理................................................... 132 6.2.2 哥德尔第二不完全性定理................................................... 136 6.2.3 不完全性定理的其它形式................................................... 136 6.3 自然主义看形式主义与不完全性定理............................................. 137 6.3.1 自然主义对有穷主义数学观念的澄清......................................... 138 6.3.2 自然主义对希尔伯特方案的新解释........................................... 139 6.3.3 自然主义看不完全性定理与实在论........................................... 142 第七章 卡尔纳普与逻辑实证主义 .................................................... 144 7.1 作为重言式的数学............................................................. 145 7.1.1 逻辑实证主义所面临的数学哲学问题......................................... 145 7.1.2 早期逻辑实证主义者的回答:数学是重言式.................................... 146 7.1.3 他们的难题：存在性数学公理如何是重言式？................................. 148 7.2 作为语言的约定的数学......................................................... 151
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7.2.1 卡尔纳普哲学的要点 ...................................................... 151 7.2.2卡尔纳普哲学的内在问题 ................................................... 155 7.3 从自然主义的角度看逻辑实证主义 .............................................. 158 7.3.1 分析逻辑实证主义的语言、意义与真理观 .................................... 158 7.3.2 数学公理是分析真理吗？ .................................................. 160 7.3.3 语言框架及其使用主体是什么？ ............................................ 162 第八章 哥德尔的实在论 ............................................................ 165 8.1 哥德尔的概念实在论 .......................................................... 166 8.1.1 概念实在论的要点 ........................................................ 166 8.1.2 对概念实在论及其论证的分析、批评 ........................................ 169 8.2 心灵与机器 .................................................................. 173 8.2.1 哥德尔的心灵观的要点 .................................................... 173 8.2.2 对哥德尔的心灵观的评论 .................................................. 175 第九章 蒯因与不可或缺性论证 ...................................................... 177 9.1 蒯因的基本哲学思想 .......................................................... 178 9.1.1 蒯因的自然主义 .......................................................... 178 9.1.2 蒯因的整体主义 .......................................................... 180 9.1.3 蒯因的本体论 ............................................................ 183 9.1.4 蒯因的真理观 ............................................................ 184 9.2 不可或缺性论证 .............................................................. 185 9.2.1 不可或缺性论证概述 ...................................................... 186 9.2.2 数学对象不可或缺吗？ .................................................... 187 9.2.3 科学应用能核证数学对象的存在性吗？ ...................................... 190 9.2.4 用数学变元就蕴涵着承诺数学对象的存在性吗？ .............................. 195 9.3 蒯因式自然主义的内在问题 .................................................... 196 9.3.1 蒯因的一些非自然主义的概念 .............................................. 197 9.3.2 对蒯因哲学的问题的一个心理解释 .......................................... 200 9.3.3 重新检视蒯因的主要哲学思想 .............................................. 201 参考文献 ......................................................................... 205 名词索引 ......................................................................... 210
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