但是，另一方面，穆勒的经验主义面临着与康德同样的问题：现代数学的内容已经远远超出了初等算术，因此，要坚持这种经验主义的观点，就要说清楚，经验如何可能验证，以及在什么意义上验证现代数学中关于无穷数学对象的论断，如无穷集合的存在性，选择公理等等。这些数学论断显然不是经验事实的概括，不像
“5+7=12”是“5个苹果加7个苹果等于12个苹果”等等的概括。所以，穆勒的基本思想也需要发展才有可能回答今天的数学哲学问题。
五、二十世纪的经验主义
穆勒的经验主义在二十世纪也有它的变种或发展。比如，蒯因的哲学也是经验主义，一样否定数学真理是绝对地必然的或先天的，同时蒯因是以他的整体主义认识论来将现代数学容纳到他的哲学体系中。但蒯因得出的是一种经验论的数学实在论，他将“5+7=12”理解为关于抽象对象的真理。另一方面，本书下一章要介绍的笔者提出的自然主义数学哲学也赞同穆勒的一些基本思想，包括算术不是绝对地普遍、必然的，及“5+7=12”是经验事实的概括这些点，因此也许更接近于穆勒。
1.4.3 二十世纪数学哲学流派的各种回答
二十世纪的各种实在论数学哲学有着对数学真理的分析性与先天性问题的不同回答。比如，弗雷格错误！未找到引用源。相信，算术真理是分析真理。弗雷格认为，康德没有充分地分析“自然数”、“5”、“7”、“+”、“12”等等这些概念，因此以为“5+7=12”不是依相关概念的定义就为真的。其原因是，康德所知道的逻辑仅仅是亚里士多德的逻辑，它太简单了，不足以分析算术陈述的逻辑结构。弗雷格为此发明了现代数理逻辑。他认为，用这种更强有力的逻辑工具，我们可以明确地定义“自然数”、“5”、“7”、“+”、“12”等等概念，然后能够严格地证明，如果把这些概念的定义代入“5+7=12”中，它就成为逻辑真理，因此，“5+7=12”是分析的与先天的真理。
蒯因错误！未找到引用源。则与弗雷格相反。他深化了经验主义。他认为，一切知识最终都基于经验；没有绝对先天的知识；也没有绝对的分析真理与综合真理之间的差别。他用他的整体主义认识论理论来说明，经验如何能够验证现代数学中关于抽象数学对象的真理。对这些理论的更深入的分析、批评将留待后面的相关章节。
反实在论数学哲学或者认为数学定理本身无真假，或者认为数学定理是真理，但是在另外一种意义上，而不是在普通的、表达关于客观存在着的抽象对象的事态这个意义上为真理。对于前者，不存在关于数学定理本身的分析性与先天性问题，但有一些相关的分析性与先天性问题。比如，不论一种反实在论的关于数学语言的意义理论怎么解释“5+7=12”的意义，是否承认它是真理，它都应该承认相应的语句“5个苹果加7个苹果等于12个苹果”等等是表达了真理。那么，这一类真理是分析的还是综合的？是先天的还是后天的？还有，当孩子们学习了“5+7=12”，他们学到了某种知识。也许它不是关于作为抽象数学对象的自然数的知识，但直观上它应该依旧是一种相当普遍的、相当自明的、可能也是必然的知识。那么，它是先天的知识吗？这些问题，依旧是任何一个反实在论的数学哲学都必须回答的问题。其次，至于那些承认数学定理是真理但对“真理”的含义有不同理解的哲学理论，分析性与先天性也有稍微不同的含义。比如，卡尔纳普认为数学公理都是我们的数学语言中的约定，是依语言的约定而为真，因而在这个意义上它们是分析的。这意味着无穷公理、选择公理等等都是分析真理。这与康德或弗雷格所理解的分析性有所不同。后面相关的章节将更仔细地分析一些反实在论哲学是否回答了这些问题，以及他们的回答是否还有缺陷。
1.5 数学的客观性
1.5.1 数学的客观性与数学对象的客观存在性
一、接受数学实在论不仅仅在于承认数学的客观性错误！未找到引用源。
有的学者提出，数学实在论问题，实质上是关于数学的客观性（objectivity）问题，而不是关于数学对象（objects）是否客观存在这个问题①。这种说法可能源于对“抽象对象的存在性”这个概念本身的怀疑。说物质性的对象存在容易理解，即存在于宇宙时空之中，但说一个抽象对象存在究竟是什么意思？这种说法，希望能够表达某种实在论的信念但又同时回避谈论抽象数学对象。但是，先不论“抽象对象存在”是什么意思，我们认为，仅仅以是否承认数学的客观性为标准，似乎并不能区分关于数学的本质的两种真正地互相冲突的信念，即实在论者的与反实在论者的信念。
①
这种说法一般被归于逻辑学家Kreisel。参见Putnam (1975)。
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二、对“数学的客观性”的分析
首先我们要问，怎么陈述所谓的数学的客观性？对于我们这里所说的数学实在论者来说，客观性自然是指抽象数学对象客观地存在，即它们是独立于我们的心灵与语言的存在，而且数学公理与定理是关于抽象数学对象的客观真理。要谈论数学的客观性又要回避谈论抽象数学对象，也许就只能谈论数学公理与定理本身。所以，所谓数学的客观性应该指的是，数学公理与定理之有别于其它数学命题，是基于一些客观的原因，而不是基于个人的任意的选择，或主观的喜好，等等。数学公理与定理当然可以在许多方面有别于其它数学命题。对于我们这里所理解的数学实在论来说，最重要的区别仍然在于公理与定理是真理，而其它命题可能是假的，而这又意味着承认抽象数学对象的存在性。要回避这一点，就不能承认数学公理与定理的实在论意义上的真理性。那么，什么是公理与定理有别于其它命题的根本特征？也许，公理在某种意义上的自明性以及公理和定理的可应用性，是除真理性之外唯一使它们有别于其它命题的根本特征。这样，所谓数学的客观性就是指，数学公理的自明性与数学公理和定理之有用，是基于一些客观的原因，而不是由于我们的主观的喜好、任意的选择等等。另外，这里的客观性还可以区分两个层次。它可以是指，公理和定理的这些特征对不同的人来说是公共的，不是个人的主观选择的结果；它也可以是指，公理和定理的这些特征也包含了独立于人类的心灵的因素，或者说，不是由心灵的先天的、内在的特征决定的。
三、反实在论者可以承认数学的客观性
然而，问题是，反实在论者也可以承认这个意义上的数学的客观性。比如，不论你是否承认一种宗教信仰的真理性，你都可以承认，人们之所以乐于接受这种宗教信仰，以及这种宗教信仰之所以有很好的社会效益，都是基于一些客观的原因，甚至包括独立于人类的心灵的内在特征的原因，比如人类的环境的一些特征，而不是基于人们的纯粹主观上的任意的喜好，或者仅仅基于人类的心灵自身的内在特征。承认是基于客观的原因使得人们乐于信仰上帝，并不意味着承认上帝存在，或承认是上帝使得人们接受了那种宗教信仰；同样，承认一种宗教信仰有很好的社会效益，更不意味着承认那种宗教信仰的真理性。是否承认这些客观性显然不足以区分信仰者与不信者；能区分的只有是否承认“上帝存在”的真理性这一点。同样，是否承认数学公理的自明性与数学的可应用性是基于客观的原因，不足以区分关于数学的两种真正地互相冲突的信念，因为双方都可以承认这些客观性。我们认为，这两种信念之间的真正冲突还是在于，自明性或可应用性是否蕴涵了对客观存在的对象的真理性。换句话说，“自明性”是指对于某种独立于我们的思想的事物的认识上的自明性，还是仅仅指我们的思想对于我们自己具有显得清晰、自然等等这些特性（而且这些特征是客观的）。同样地，可应用性是由于真理性，是由于我们的思想以某种方式对应于某些外在的东西，还是由于我们的思想自身的一些别的什么特征。
从另一个角度，我们可以问，当一个实在论者说数学是客观的的时候，被承认为客观的究竟是什么？是大脑或心灵之外的某种东西？还是大脑或心灵之中的某种东西与大脑或心灵之外的某种东西之间的某种对应关系？还是仅仅是大脑或心灵之中的某种东西？如果是前两者，那么，对数学实在论者来说，那些大脑或心灵之外的东西就似乎只能是抽象数学对象，因为它们不能仅仅是宇宙时空之中的具体事物，否则那就是唯名论了。如果是第三者，即所谓客观的仅仅是大脑或心灵之中的某种东西的特征，比如，是大脑或心灵所理解的数学定理有某种客观的、大脑或心灵不能随心所欲地改变的特性，那么，这种意义上的客观性也可以被反实在论者接受。比如，反实在论者可以承认，我们思想中所接受的数学公理相对于我们的大脑或心灵来说是优美的、显得很自然的、很有益处的，等等。这些都不蕴涵着承认任何超出这个物质世界（与心灵）的事物的客观性，比如，不蕴涵着承认无穷的客观性。反实在论者还可以承认，由于我们的大脑或心灵的内在结构，这些数学公理的相对于我们的大脑或心灵的这些特征，不是我们的大脑或心灵可以随心所欲地改变的。显然，数学实在论者所想要肯定的应该不仅仅是这种意义上的客观性。所以，如果实在论者是指前两种意义上的客观性，那么它应该蕴涵着承认抽象数学对象存在，而第三种意义上的客观性似乎不是数学实在论者所想要表达的。
四、怀疑“抽象对象存在”的意义已经怀疑了数学实在论
事实上，只要你真正怀疑“无穷存在”，“抽象对象存在”等等这些说法是否有意义，你就已经隐含地假设了只有在这个物质宇宙之中存在的具体事物（也许还有人的心灵活动）才是真正的“存在”。然后，任何意义上的客观性，都只能是关于这个物质宇宙之中的具体事物（也许还有人的心灵活动）的客观性。这实际上已经是在怀疑数学实在论的信念是否有意义。数学实在论之所以为数学实在论，恰恰在于它相信一些超出这个物质宇宙又独立我们的心灵的东西。这种信念只能用某种不属于物质世界也不属于心灵的“存在”，甚至“客观存在”来表达。所以，仅仅承认数学在某种意义上的客观性还不足以刻画实在论者的信念，因为客观性可能仅仅是指物质世界中的事物或心灵的活动本身的某些特征的客观性。
五、抽象对象与抽象概念错误！未找到引用源。
当然，有些数学实在论者直接将数学实在论的信念将表达为“抽象数学对象客观存在”，而有些则更愿意将它表达为“抽象数学概念是客观的、独立于我们的思想的”。哥德尔晚年似乎更愿意采用后一种说法。这似乎可
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以回避“抽象对象存在”这种说法。这里需要强调，在哥德尔那里，抽象数学概念不是某个具体的人的大脑或心灵中的具体的内在表征，也不是人的思想的创造物。它们是客观的、独立于我们的思想的。因此也是一种“客观存在”。既然它们是抽象的，称它们为“对象（objects）”或“概念（concepts）”并没有真正的区别。对于物质世界中的东西，“对象”指的是一个个的物体，而“概念”则可以指大脑中的某种神经元结构，它们是大脑对事物的认识在神经元层次上的实现。在这里，“概念”还是一些事物，只不过我们强调它们的结构、在大脑中的功能等等，因此，“对象”与“概念”还是有明显的区别。“概念”也可以指一个心灵中的某种心灵实体（而非物质实体），所以，即使不是从大脑的角度而是从心灵的角度来看，“对象”与“概念”也有类似的区别。但对于所谓独立于思想的“抽象概念”，既然它们是独立于大脑、心灵的，称其为“概念”或“对象”可能没有什么真正的区别。事实上，称其为“概念”有可能将它们与存在于大脑或心灵之中的“概念”相混淆，从而使我们忽视了它们是被设想为独立于思想的这个事实，进而使我们忽视了它们带来的一些哲学上的困难。比如，对于作为大脑中的神经元结构的“概念”，或者对于属于心灵的作为心灵实体的“概念”，不存在什么大脑或心灵如何“把握概念”这个问题，因为“概念”已经就在大脑或心灵之中了。但是，如果所谓的“抽象概念”是独立于思想的，那么，思想如何能够“把握”它们，在什么意义上“把握”它们，这是需要有一个解释的①。
所以，我们将继续将数学实在论的基本信念表达为：抽象数学对象客观存在，而且数学公理与定理是关于抽象数学对象的客观真理。
1.5.2 数学的客观性问题
一、客观性问题
然后，前面已经提到，数学公理与定理之有用显然是一个客观事实。它们在科学中已经是很有用了。而它们之有用当然也是有客观的原因的，不会仅仅是由于数学家与科学家们的主观愿望。因此，我们认为，数学的至少在这种意义上的客观性是给定的事实，是任何数学哲学都必须解释的。另外，数学中的客观性似乎不仅仅在于数学公理与定理之有用是有客观原因。所以，关于数学的客观性错误！未找到引用源。的真正问题应该是：
如果抽象数学对象不存在，那么数学在哪些方面是客观的，它的客观性的基础又是什么？
这个问题主要是针对反实在论者的，因为，对于实在论者来说，数学的客观性的基础显然就是客观存在着的抽象数学对象，以及数学公理与定理是关于它们的客观真理这一客观事实。反实在论数学哲学则需要作一些努力，在不承认数学对象存在，不承认数学公理与定理是真理的前提下，说明数学在各方面的客观性。
二、概念的客观性错误！未找到引用源。
前面已经提到，数学的成功应用，应该是基于一些客观的原因。这是数学的客观性的一个方面。除此之外还有其他方面的客观性问题。从哲学的角度看，对反实在论者来说最困难也最重要的，也许是关于概念的客观性问题。我们在直观上承认，“不同的人可以理解同一个概念”。这里的“概念”不是物质性的对象。如果不同的人可以在某种意义上把握“同一个概念”，那么这个“概念”似乎应该也是独立于人心的。所以，接受这一点似乎意味着，所谓的“同一个概念”应该是一个非物质的、也独立于人心的抽象的实体。一些实在论者的确是这么认为的。比如，弗雷格就强调，概念是客观的、独立于我们的思想的，虽然它们可以被思想“把握”。弗雷格认为，只有承认这一点，才能说明我们为什么可以成功地互相交流、可以在科学中表达客观的真理。哥德尔则更直接地承认我们有一种直觉能力，使得我们能够“把握”独立于我们的心灵的抽象数学概念，就象我们有视觉能力，使得我们能够看到那些独立于我们的心灵的物体。反实在论者认为，实在论者的这种所谓的“把握”是神秘的东西，实在论者并没有说清楚它究竟是什么。但另一方面，在常识意义上的“不同的人可以理解同一个概念”，似乎是我们都应该认可的。因此，反实在论者应该对此做出解释。他们必须在不承认任何独立于心灵的、非物质的实体的前提下，解释什么是概念，在什么意义上我们可以“理解同一个概念”，为什么我们可以成功地交流等等。也就是说，反实在论者必须能够承认“不同的人可以理解同一个概念”之中蕴含的客观性，而又不必承认存在着独立于心灵的、作为抽象实体的概念。
与概念的客观性相关的问题还不仅仅在于“不同的人可以把握同一个概念”。我们一般也承认，一个人在一个特定的场合是否正确地使用了一个概念，这一点也是客观的。一个概念自身可能已经包含了一些一般性，因此，承认“正确地使用了那个概念”之中的客观性，有可能蕴涵着必需将那个概念视为一个独立于人心的抽象实体。比如，假设一个人学习了“猫”这个概念，但有一天他将这个概念用于描述一只狗。我们说这是一个错误，但这似乎蕴含着假设了“猫”这个概念是独立于那个人的心灵的，是相对于那个独立的概念我们才能说这个人犯了个错误，将这个独立的概念错误地应用到某个事物上。否则，如果那个人心灵中的东西就是一切，那么我们似乎必须说，那个人在应用概念方面无所谓错误，因为，既然他有时将他心中的一个概念用于猫，有时又将它用于
①
比如，弗雷格就认为，“抽象概念”不是“对象”。但对我们的究竟如何“把握”所谓的抽象概念，他没有解释。
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狗，那么它就应该既表示猫又表示狗，也就是说，他心灵中的一个概念就是表达任何被他实际地应用了这个概念的事物。
三、规则的客观性错误！未找到引用源。
这尤其体现在所谓的规则错误！未找到引用源。概念中。一个规则概念是人们一般说的一个规则，比如，指导我们进行某种操作的操作规则（operational rules），如对十进制数字表达式作加法、乘法运算的规则，逻辑推理规则等等。一个操作规则可以被应用在许多场合，包括以前从未遇到过的新场合。我们一般承认，一个人在一个特定的场合可能是正确地使用了一个操作规则，也可能是错误地使用了一个操作规则。或者反过来说，一个实际的操作可以是符合或不符合一个给定的操作规则。而且，我们一般承认，一个实际的操作符合或不符合一个给定的操作规则这一点是客观的。这一般称为遵循规则错误！未找到引用源。的操作的正确性问题①。比如，我们一般承认，给定了数学公理和推理规则，一个从公理推导出定理的实际的数学推导过程是否正确，这一点是客观的。这里我们不考虑由于用模糊的自然语言表达一个数学证明，以及由于证明中有步骤跳跃而可能产生的问题。我们假设证明已经被形式化了。因此，证明的正确性，仅仅指证明中的操作符合了给定的公理和推理规则。又比如，按加法规则（包括进位规则等等）对自然数的十进制表达式作加法运算，也是一种遵循规则的操作。对此，正确性指的是，一个由一系列的步骤构成的这样的运算过程，是符合了加法运算规则。直观上，承认这种正确性的客观性应该是无疑义的。比如，如果一个人作加法运算时在该进位的地方没有进位，那么我们认为他客观上没有正确地遵循给定的加法规则。
这看起来简单，但它其实是数学反实在论者的一个潜在难题。首先，正确性作为一种规范性，似乎假设了有一个独立于每个人的心灵的、作为抽象实体的公共的规则。因为，假如没有独立于我们的心灵的规则，那么我们就是各自依着自己心灵中的东西的指导去进行操作，因此凭什么说某人的操作是错了？换句话说，当我们说一个人在作加法的时候在该进位的地方没有进位，是犯了一个错误，我们似乎假设了一个独立于那个人的，其实也独立于我们自己的，公共的规则。错误是相对于那个公共的规则而言的。否则，那个人就是凭他自己的心灵的指导而进行操作，为什么称他错了？而这样一个公共的规则，如果果真存在的话，应该是一个独立于各个人的心灵的抽象实体。
四、规则的客观性与无穷的实在性
其次，更进一步，这样的规则中似乎蕴含着无穷。换句话说，如果我们承认，这种客观正确性对想象中的任意长的一系列遵循规则的操作都适用，那么它实际上是在断言，有一些关于不存在于这个有限宇宙中的事物的客观真理。比如，想象一个极其长的形式化的证明，或一个将两个极其长的十进制表达式相加的运算式。想象它们是长到如此程度以至于它们不可能存在于这个有限的宇宙之中。现在问，这样的一个证明或一个加法运算式，是否也是客观地、独立于我们的思想地正确或错误的？普通人很自然地有一种信念，认为一个加法运算式，不论它是在加多长的数字表达式，不论人类有没有能力实际地写下这个运算，其正确与否都应该是客观的。但是，假如宇宙真的是有限的，因此这种想象中的证明或运算式不可能在宇宙中实际存在，那么，相信这种客观性，实际上是相信这种想象对应于某种不属于这个宇宙的客观实在，也就是相信一些超出这个有限的宇宙的客观真理。因此，这是在肯定数学实在论。当然，我们今天并不确定宇宙是否是有限的。但重要的是，假如有人确信这其中的客观性，那么他只能是在肯定实在论，既然我们还不确定宇宙是否有限。
事实上，相信这里的客观性，是将所谓“任意长的形式化证明”或“任意长的加法运算式”当作独立存在的抽象实体，将关于它们的正确性的判断当作关于这种抽象实体的客观真理。这也是将加法运算规则，当成一个可以作用于无限多的、任意长的数字表达式的数学函数，因而是一个蕴含了无穷的实体。这些都已经在一定程度上接受了实在论。
五、解释规则客观性的难点
应该承认，我们关于这种类型的客观性的直觉是很强的。比如，考虑乘法交换律： （1） 对任何m，n，m ? n = n ? m。
假如将（1）理解为关于作为抽象数学对象的自然数m，n的论断，那么我们也许容易接受反实在论者的一些说法，比如，认为（1）是像一个故事中的陈述，没有客观的真假。因为，所谓的抽象对象的存在性确实有一些难解。也许它们就是我们想象的，因此（1）就是我们编的一个故事中的陈述。但是，如果我们将（1）理解为关于十进制数字表达式的论断，即断言对十进制表达式做乘法运算的结果满足交换律，那么直观上我们似乎更愿意认为，（1）有客观的真理性（而不仅仅是我们的数学故事中接受的一个陈述），而且是对所有的十进制数字表达式为真的，不论那些数字表达式是否真的在宇宙中实际存在。但这实际上已经将所谓“任意的十进制数字表达式”当成了独立于物质世界而存在着的抽象对象，而且将（1）当成了关于这种抽象对象的客观真理。类似地，
①
参见Kripke (1982)。自克里普克（Kripke）的这本书出版以后，出现了大量关于遵循规则的讨论。我们这里只讨论其中与数学实在论与反实在论之争相关的一些问题。
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在可计算性理论中，我们将一个图灵机设想为一个可以有无限长的存储带的机器。我们可以设计一个实现乘法运算的图灵机。然后，（1）也可以被解释为关于这样一个图灵机的论断，即断言对任何一对输入，不论它们有多长，将它们的位置交换后，所得的输出不变。直观上，我们也似乎愿意认为，在这样的解释下，（1）应该是客观真理（而不仅仅是我们编出的故事）。但是，一个可以有无限长的存储带的图灵机不能在有限的宇宙中存在。因此，相信对（1）的这种解释的客观真理性，也是将图灵机当成客观存在着的抽象对象，将（1）解释为关于它们的客观真理。
这些例子都有这样一个共同的特征：当只考虑那些有限的、在宇宙中实际存在的事物的时候，相关的论断明显地有客观真理性。比如，对于一个实际存在的加法运算式，我们都承认，它是否正确地遵循了加法运算规则应该是客观的。类似地，如果实际地将两个很小的数字表达式依乘法运算规则相乘，然后问乘法交换律是否成立，我们也都承认，答案是客观的，即交换律是客观地真的。然后，我们似乎有一种很强的直觉，认为这些关于有限的事物的论断可以推广到一般，推广到“任意长”的数字表达式，有“任意长”的存储带的图灵机，等等。而且，我们似乎愿意相信，推广以后的论断还是有客观的真理性，虽然那些所谓“任意长”的数字表达式，有“任意长”的存储带的图灵机等等，也许不可能在宇宙中存在。
这里我们处于一种两难的境地。一方面，我们的确有这样的很强的关于客观性的直觉；而另一方面，承认这种客观性似乎已经意味着承认抽象实体的客观存在性，即承认实在论。反实在论者在这里的任务，就是在坚持反实在论的基本原则的基础上，即在否认任何超出这个有限宇宙的客观存在性的基础上，对我们的这种很强的直觉提出一种解释。一方面，反实在论者需要说明这种直觉在一定程度上的合理性，而另一方面他们也需要解释，为什么这种直觉不必真的蕴涵实在论的结论。
但是，二十世纪的种种反实在论数学哲学似乎都还没有做到这一点，有些甚至没有意识到这是反实在论的数学哲学的一个重要任务。这也是笔者提出下一章将要介绍的那种彻底地自然主义的数学哲学的主要动机之一。
1.6 数学的可应用性
从前面的讨论可以看出，反实在论数学哲学面临的许多问题，可以最终归结为如何解释数学在科学中的可应用性错误！未找到引用源。这个事实，包括说明数学可应用的客观原因。数学可以在科学应用中推导出科学真理，这是不争的事实。它意味着数学不仅仅是一个任意地设计的游戏，或一个任意地编撰的故事。任何一种数学哲学都需要对此作出解释。
1.6.1 数学实在论并未清楚解释可应用性
一、数学实在论对可应用性的解释
从表面上看，数学实在论错误！未找到引用源。似乎更容易解释数学的可应用性。数学实在论认为，抽象数学对象客观存在，数学公理与定理是关于抽象数学对象的客观真理，因此，数学在科学应用中可以推导出真理是因为数学公理与定理本身是真理。
更确切地说，一个科学理论中的前提一般可分为三类：（I）数学公理及定理；（II）关于宇宙中的具体事物的陈述，包括关于具体事物的观测结果的陈述，以及一些不用数学语言表达的，关于宇宙中的具体事物的一般规律的陈述；（III）用数学语言表达的，关于宇宙中的具体事物的一般规律，比如物理定律。前提（III）中的语句一般直接陈述数学对象与物理对象之间的联系，以此表达某个自然规律。比如，一个经典力学中的前提可能说，
（1） 存在一个满足如此这般的微分方程的数学函数，它表示如此这般的一个物体的运动轨迹。
又比如，一个量子力学的前提可能说，存在一个如此这般的数学函数，它是某个粒子的波函数。在数学实在论看来，在一个成功的科学理论中，这三类前提都是真理：（I）是关于抽象数学对象的真理；（II）是关于具体事物的真理；（III）则是关于抽象数学与具体事物之间的联系的真理。这样，由这些前提逻辑地推导出的科学结论，自然也是真理。这也许是一般数学实在论者所天然地假设的，对数学的可应用性的解释。比如，蒯因错误！未找到引用源。在描述科学应用如何核证数学真理的时候，就是将数学公理、物理定律等等同等地看作我们的科学理论中的前提。然后说，既然从这些前提推导出的关于经验观察的结论得到了经验的验证，这就反过来核证了这些推导的所有前提，同时包括其中的数学前提与物理前提，即数学公理与物理定律。也就是说，一方面，数学定理之为真解释了所推导出的观察结论之为真，另一方面，所推导出的观察结论之为真核证了作为推导的前提的数学定理为真。
二、实在论解释的问题：用无穷数学表达的科学定律一般并非精确地真的
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