语义学任务。对这些，我们都将在本书后面的相关章节作更详细的分析。
1.3 关于数学知识的认识论问题
实在论者与反实在论者都承认，我们至少在某种意义上有数学知识，因为作为科学基础的，在科学中有广泛应用的数学，不会不包含任何真正的知识。因此，就有关于数学知识的认识论问题错误！未找到引用源。：
数学知识是关于什么的知识？我们是如何获得这些知识的？什么可以核证错误！未找到引用源。（或确证错误！未找到引用源。，justify）这些知识？
1.3.1 数学实在论的认识论难题
一、认识论难题错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
对于实在论者来说，数学知识很自然地是关于抽象数学对象的知识。这与上一节所说的，对数学陈述的意义的实在论解释密切相关：实在论者认为，§1.2中的语句（1）陈述了一个关于抽象数学对象?的客观事实，因此，认识到（1）也就是认识到关于对象?的一个客观事实。至于我们如何获得这些知识以及如何核证这些知识，首先，在数学中，我们一般是从一些数学公理出发推导出§1.2中的（1）那样的定理，因此，这归结为我们如何认识公理，如何核证公理。在现代数学中，各种数学概念都被归结到“集合”这个概念，集合论的公理成为数学的最原初的公理。因此，这又可以归结为我们如何认识或核证集合论的公理。为了说明实在论在这里所遇到的困难，让我们特别地考察集合论中的无穷公理错误！未找到引用源。：
（1） 存在一个无穷集合。
那么，我们是如何认识到有无穷集合？又是依据什么断言（1）是真理？
如§1.1所述，对于实在论而言，无穷集合是所谓抽象对象，是不存在于宇宙时空之中、独立于物质世界及我们的思想的存在物。但是，假如我们接受科学（包括进化论）对人类的描述，我们应该是生活在宇宙之中的生物，而且，我们所有的知识，最终来源于我们的大脑由进化及遗传决定的先天结构，及我们的大脑通过感官从环境所获得的信息。我们的经验活动范围始终是有限的。那么，我们究竟如何可能认识那些不存在于宇宙之中的、独立于物质世界的、也独立于我们的思想的无穷集合？公理被认为是自明的，但是自明的原因还是应该有一个合理解释。如果仅仅是说，我们在某种意义上可以想象无穷的集合，那也许没有问题。事实上我们已经在想象了（不论想象得如何）。实在论所带来的困难恰恰在于，假如无穷集合果真是独立于物质世界及我们的思想的存在，假如无穷公理果真是断言存在着这样一个事物，那么我们似乎无法解释无穷公理何以对我们来说会是自明的。
更一般地，我们关于物质世界中的具体事物的知识可以有合理的、自洽的、科学的解释。比如，我们关于原子、电子的知识，最终来源于原子、电子等等，通过一系列的中间环节，作用于我们的感官与大脑。当然，我们的科学知识也包括我们在科学理论的建构中，对与我们只有间接的因果联系的遥远的事物的推测。但是，所谓的抽象数学对象不存在于时空之中，与我们没有哪怕是间接的因果联系。正是这种对抽象数学对象的描述，使得我们如何可能获得关于抽象数学对象的知识成为难解的谜。还有，回忆一下，科学对于物质世界中离我们非常遥远的事物，如宇宙的起源、基本粒子等等，只能作不很确定的猜测。因此，假如无穷集合是否存在也是客观的、独立于我们的思想的，就象外星人是否存在那样，或象宇宙大爆炸是否存在那样，那么，在数学中，我们如何可能非常确定地认识到无穷集合的存在性也是一个难解的谜。这就是所谓实在论的认识论难题。
二、为什么我们平常没有意识到这个难题？
同样地，在日常的数学学习或研究中我们可能不认为这里有什么问题，但那也是因为我们其实是不自觉地摇摆于对数学知识的实在论解释与反实在论解释之间。比如，考虑无穷公理（1）。有人可能会说，当然有自然数1，2，3，…等等等等，而且每个自然数后面都紧接着一个比它大的自然数，因此，所有这些自然数构成的集合当然就是一个无穷集合。但是，仔细想一下应该可以看出，这仅仅是在想象一个无穷集合。它首先想象一种运算或操作（即加1这个运算）可以无限地重复下去；然后想象这个无限的过程可以完成，可以将结果收集成一个无穷集合。作为一种想象，它是很自然的，很容易理解的。我们用“等等等等”这样的词汇来表达我们对无限地重复某种操作的想象。我们也可以理解别人用这些词汇传达给我们的想象。但如果这就是一切，它显然不是实在论。实在论的信念是，这种想象对应于某种独立于我们的思想的客观实在。暂且不论一个无限过程能否真正完成，首先，这至少是象前面提到的古人的关于“一尺之棰，日取其半，万事不竭”的想象。今天我们已经意识到，“一尺之棰，日取其半，万事不竭”这个想象有可能不对应于这个宇宙中的时空与事物的实情。那么，我们
21
凭什么相信关于自然数的想象对应于某种独立于我们的思想的客观实在？
甚至对于单个自然数，当一个人说“当然有自然数1，2，3”的时候，很可能他又是将作为抽象对象的自然数，与作为宇宙中的物质对象的一些声音、文字符号，即打印在纸上的数字符号“1”、“2”、“3”等等混淆了。对于作为宇宙中的物质对象的声音、文字符号，当然没有什么认识论难题。我们的眼睛、耳朵可以直接观察到它们。我们也可以想象宇宙中有无限多的数字，但那只是想象，而且它很可能不对应于宇宙中的实情。实在论的认识论难题在于，实在论设想自然数是独立于物质世界、独立于我们的思想的、客观存在着的抽象对象。因此，对数字的认识不能替代对作为抽象对象的自然数的认识；对于无限多的数字的想象，也不能替代对客观存在着的自然数的无穷集合的认识。实在论的认识论难题在于，如果我们是这个有限的物质世界中的有限的生物，我们如何可能认识那些作为抽象对象的自然数，甚至认识到所有自然数的集合。
三、实在论者回答这个难题的尝试
应该说，这个困难很早就被哲学家们意识到了。比如，柏拉图不得不说，我们关于理念的知识来源于灵魂的回忆，因为很明显地，对我们生活在其中的物质世界中的具体事物的观察，达不到对所谓的理念的确定的知识。二十世纪的几种数学实在论思想也都蕴含着回答关于抽象数学对象的认识论难题的一些尝试。比如，弗雷格错误！未找到引用源。试图证明算术真理是逻辑真理。如果这可以成功的话，它意味着，我们不必在任何意义上“接触”作为抽象对象的自然数，也能够获得算术真理。比如，我们必须以某种方式（哪怕是间接的方式）“接触”外星人，比如收到疑似外星人发出的电磁波信号或看到疑似它们留下的痕迹，才能认识到外星人存在。但是，要认识到“或者外星人存在，或者外星人不存在”这个逻辑真理，我们既不必以任何方式与外星人有哪怕是间接的联系，也不必真的去检查宇宙的每一个角落以验证有或没有外星人。对于逻辑真理的认识不需要我们与逻辑真理所谈论的对象有任何直接或间接的因果联系。如果算术真理是逻辑真理，那么对于算术真理也一样。又比如，哥德尔错误！未找到引用源。则相信，我们的心灵有某种直觉能力，使得我们能够直接地把握一些抽象数学概念，直接地认识到一些数学公理。还有，蒯因错误！未找到引用源。则试图以一种较复杂的，实用主义的本体论与认识论理论（叫做“整体主义认识论”）来论证，我们的感觉经验也可以核证（justify）我们关于抽象数学对象的知识。本书后面的相关章节将更仔细地分析他们的尝试，评述他们是否真正解决了这个数学实在论的认识论难题。
在当代数学哲学中，最明确地指出这个数学实在论的认识论难题并产生很大影响的，是美国哲学家Benacerraf在1973年发表的一篇论文“数学真理”①。虽然Benacerraf没有直接批评、反驳任何二十世纪的数学实在论思想中隐含着的对这个认识论问题的回答，但他将这个难题非常清晰地展示出来，即刻意地指出并强调了所谓的抽象数学对象与我们没有任何哪怕是间接的因果联系这个事实。因此，他使得任何实在论者所可能提出的对这个难题的回答都显得可疑（包括上面提到的弗雷格、哥德尔、蒯因的回答），使得我们很自然地要去仔细检验任何实在论者解决这个难题的尝试，看看它们有没有漏洞。他也使得许多学者相信，这个数学实在论的认识论难题是不可解的，因此我们必须放弃数学实在论。在Benacerraf的文章发表以后，受其影响，从20纪80年代开始，有越来越多的哲学家去探讨各种反实在论的数学哲学。
1.3.2 数学反实在论的认识论任务
一、反实在论也还有需要回答的认识论问题错误！未找到引用源。
反实在论者否认抽象数学对象存在，因此我们的数学知识不会是关于抽象数学对象的知识，但这不等于回答了关于数学知识的认识论问题。反实在论者也还有艰巨的任务需要完成。首先他们必需说明，我们的数学知识是关于什么的知识，我们又如何获得与核证这些知识。有些反实在论者声称，一些数学定理是假的，因为它们所断言存在的对象事实上不存在。比如，他们声称，“存在无穷多个素数”是假的，因为作为抽象对象的自然数根本就不存在。即使这样也不能完全回避认识论问题。因为，无论数学定理是真是假，我们有一些数学知识，这一点是显然的，而且恰恰是需要得到解释的。如果数学对象不存在，因而断言这样那样的数学对象存在的数学定理是假的，那么反实在论者就应该从另外一个角度来解释，我们的数学知识是关于什么的知识，以及我们如何获得与核证我们的数学知识。仅仅否认数学定理的真理性是不够的。
对此，我们首先想到的也许是，我们的数学知识，是关于从哪些公理可以推导出哪些定理，以及关于如何作这些推导的知识。这是§1.1中提到的朴素的反实在论的一个自然推论。它的问题是，虽然我们的数学知识的确部分地是关于从哪些公理可以推导出哪些定理，以及关于如何作这些推导的知识，但这显然不是全部数学知识。如果数学仅仅是从公理推导定理的游戏，那么这也许就是我们的数学知识的全部。比如，关于下棋的知识，就仅仅是关于如何按规则走步，以及关于哪些走法可以导致怎样的结局的知识。但是，我们的数学公理与定理可以在科
①
Benacerraf (1973)。参见Shapiro (2005)的引言那一章。
22
学应用中推导出科学真理。数学实在论者认为，这是因为数学公理与定理本身是关于抽象数学对象的客观真理，而我们的数学知识，除了包括认识到哪些命题可以从公理推导出，也包括认识到公理是真理，因此定理也是真理。反实在论者否认数学公理与定理表达了关于抽象数学对象的真理，但他们也不得不承认数学公理不是随意选定的，不象弈棋规则那样；他们也不得不承认，选定今天的数学公理本身包含了某种客观知识。因此，反实在论者还必须说明这些知识在于什么（假如不是在于认识到那些公理是关于抽象数学对象的真理）。
其次，更进一步，反实在论者必须将这些知识的内容，与为什么数学可以在科学应用中推导出科学真理联系起来。我们的数学知识之所以为“真”知识，而不仅仅是关于某种任意发明的游戏的知识，就在于只有“真”知识才能成功地应用于科学。（这里的加引号的“真”可以不等同于实在论者所理解的“真”。）假如一个工程师错误地将一个“假”数学命题当成了定理，那就有可能使一座桥梁坍塌。我们不能仅仅说，这位工程师自己发明了一种新数学游戏从而使得一座桥梁坍塌。我们也不能仅仅说，有一些数学游戏使得科学应用得以成功，有一些数学游戏则不能使得科学应用得以成功。这当然是对的，但我们需要的是，说明究竟是那种数学游戏的什么特质使得它可以被成功地应用于科学。也就是说，反实在论者必须说明，我们的数学知识在什么意义上是“真”知识，而不是任意编撰的故事，而且为什么这种意义上的“真”知识，使得它可以在科学应用中推导出科学真理。这也是反实在论数学哲学所面临的任务之一，是反实在论数学哲学的认识论任务。它与反实在论数学哲学的语义学任务非常相似。
二、二十世纪各种反实在论数学哲学的回答
同样地，在二十世纪的各种数学反实在论思想中，希尔伯特错误！未找到引用源。的形式主义错误！未找到引用源。方案，如果成功的话，也蕴含着能够完成这个认识论任务的理论资源。希尔伯特指出，只要数学公理是逻辑上一致的，由公理推导出的关于有限事物的结论，就一定是真的。然后，他的证明论方案错误！未找到引用源。试图严格地证明，我们的数学公理确实是逻辑上一致的，并且，他要求证明中只能用到所谓的有穷主义数学，即不能假设任何无穷的抽象数学对象存在。如果成功的话，它意味着，我们关于数学公理的知识，不在于认识到公理本身是真理，而仅仅在于认识到公理是逻辑上一致的，而且，这种认识可以在反实在论的前提下得到严格的论证。同时又可以严格地论证，这种认识蕴涵着认识到，由公理推导出的关于有限事物的结论的确是真理。如上一节所述，一般认为，哥德尔的不完全性定理证明了希尔伯特的方案不可能成功，而我们认为实际情况并非那么简单。本书后面的相关章节将更详细地讨论这一点。
至于直觉主义、逻辑实证主义等等，它们都以认识论为它们的哲学的中心，但我们将说明，它们其实并没有完成反实在论的认识论任务。对这些我们也将本书后面的相关章节作更详细的分析。
1.4 数学的分析性与先天性
1.4.1 什么是数学的分析性与先天性问题
一、分析真理错误！未找到引用源。、综合真理错误！未找到引用源。
与关于数学语言的意义问题及关于数学知识的认识论问题密切相关的，是关于数学公理或定理的分析性错误！未找到引用源。与先天性错误！未找到引用源。问题。我们称一个语句表达一个分析真理，假如它的意义本身就已经决定了它一定是真的，而不论这个世界是如何。比如，一般认为，“单身汉是男性的”、“动物是生物”等等是分析真理，因为这些语句中所包含的词项的意义就已经决定了它们一定是真的，不论谁是单身汉，不论世界上有哪些动物与生物等等。逻辑真理都是分析真理，比如考虑“p或者并非p”，“如果p，那么p”等等形式的逻辑真理，由这些语句中的逻辑常项“或者”、“并非”、“如果…，那么…”等等的意义，就已经决定了它们一定是真的，而不论其中的语句p的真假。分析真理是所谓同语反复，没有真正的事实内容，对世界实际上无所断定。
对“分析真理”的一种更细致的定义需要假设语言中的词项有定义或有同义词。比如，一些人认为，“单身汉”的定义是“未婚的成年男性”，“lawyer”与“attorney”是同义词，等等。这样，一个语句表达一个分析真理，当且仅当，当我们将这个语句中的一些词用它们的定义或同义词替换以后，我们会得到一个逻辑重言式，或更一般的逻辑真理。比如，用“未婚的成年男性”替换语句“单身汉是男性的”中的“单身汉”，就得到“未婚的成年男性是男性的”，它是一个逻辑重言式。这个分析性概念一般称作弗雷格分析性①。
①
参见Boghossian (1996, 2003)。
23
与分析真理相反的是综合真理。比如，“月球上没有动物”是综合真理，因为仅仅由这个句子中所出现的词项的意义并不能决定它就是真的。它之为真，是因为它对应的现实世界恰好是，月球上没有动物。直观上，综合真理是有真正内容的、对世界有所断定的真理。
这里需要说明一下，有些哲学家（比如蒯因）认为没有分析真理与综合真理之间的绝对清晰的区别，甚至没有逻辑真理与非逻辑的真理之间的绝对清晰的区别①。对此我们将在后面再作深入的分析。这里只是要将数学的分析性作为一个问题提出来。
二、先天真理错误！未找到引用源。、后天真理错误！未找到引用源。
我们称一个语句表达一个先天真理，假如我们不需要从感官获得的经验知识来核证它，即验证它为真。这里需要注意的是，我们当然需要后天的经验来学习语言，理解这个语句中的词项的意义，以及理解这个语句本身的意义。这里强调的是，在理解这个语句的意义之后，我们不需要后天的经验来验证它所表达的是真理。也就是说，它的真理性不依赖于经验。因此，分析真理自然地都是先天真理，因为对于分析真理，我们只要理解了它的意义，就可以通过分析它的意义来证明它是真的，而不再需要观察这个世界。比如，只要理解了“单身汉”与“男性”这两个词的意义，通过分析它们的意义就足以证明，“单身汉是男性的”是真理，而无需去观察单身汉们来验证单身汉确实是男性的。与先天真理相反的是后天真理。合理地认识（而不是盲目地相信）一个后天真理，就需要我们从感官获得的经验来证明它为真。
三、先天综合真理错误！未找到引用源。
分析-综合与先天-后天这两对概念是对我们的知识的两种划分。第一种划分是依据一个语句之为真的基础是什么，是由于语句的意义本身，还是由于其它的事实；第二种划分则是依据什么可以核证我们的知识，是要依据我们的经验，还是不必依据经验。既然分析的一定是先天的，下一个问题自然是，那么先天的都是分析的吗？也就是说，所有不必依据经验就可以被合理地认识、被验证为真的真理，都是仅仅由于它们的意义而为真的吗？或者说，对于一个语句，是否可能出现这样的情形：我们不必依赖经验就能够认识、验证它为真，但是这需要依赖这个语句中的词项的意义之外的某种东西，因此这个语句不能说是分析真理？如果有这样的情形，那么那个所谓“这个语句中的词项的意义之外的某种东西”又是什么？它应该是我们的某种认知功能，使得我们可以合理地、不依赖感官经验地认识一些不能归约为分析真理的真理，但这样一种认知功能究竟是什么，是从哪里来的？如果有这样的情形，这种语句就是所谓的先天综合的真理。
四、关于数学的分析性与先天性问题
这样，对于我们目前所关心的数学知识，我们可以将分析性与先天性问题概括如下：
数学真理是分析的还是综合的？是先天的还是后天的？如果它们是后天的，它们与其它科学真理的区别在哪里？如果它们是分析的，又是怎样的关于数学语言的意义理论可以说明它们是分析的？如果它们是先天综合的，那么又是什么决定了它们为真，是我们的什么认知功能，使得我们可以先天地认识到它们？
1.4.2 传统哲学的回答
一、康德认为算术真理是先天综合真理
二十世纪现代数学及现代数学哲学产生之前，哲学家们就已经关注这些问题。比如，康德错误！未找到引用源。就认为，算术真理是先天综合的真理。首先，康德认为，“5+7=12”是综合的而不是分析的，因为，“5”、“7”、“+”这些概念中并非已经包含了“12”这个概念，不象“动物是生物”，其中“动物”这个概念中已经包含了“生物”这个概念。我们不能仅仅基于分析“5”、“7”、“+”、“12”这些概念就得出“5+7=12”。我们还需要数一数手指头，来帮助我们认识到“5+7=12”。但是，康德又认为，“5+7=12”不是后天的，因为，虽然我们需要靠数手指头来帮助我们认识“5+7=12”，但数手指头并不能证明“5+7=12”。算术真理有一种必然性与普遍性，超出我们任何可能的经验。虽然我们可能是通过经验才意识到它们的真理性，但它们的真理性其实不依赖于我们的经验，也不能靠经验来证明。比如，我们可以想象一个有着不同的物理规律的世界，但我们似乎无法真正想象一个5+7不等于12的世界。因此，我们需要靠实际观测两个物体之间的作用力，来证实牛顿的万有引力定律对这个世界是（近似地）真的，但是，通过数手指头来帮助我们认识“5+7=12”，只是通过经验来帮助我们认识到某种必然的真理，并不是通过数手指头来验证“5+7=12”。因此，“5+7=12”应该是先天的，而不是后天的。
康德的哲学的主要任务之一，就是解释为什么会有这些先天综合的真理，以及我们如何认识它们。本书不能详细介绍康德。极其简单地说，康德的想法是：我们的心灵不是简单地反映外部世界。我们的心灵有一些先天的
①
见Quine (1976, 1980)。
24
结构和功能，又叫先天认知形式，它对我们的感官所接受到的原始的感觉材料，如视觉形象、声音等等，作了一些组织和处理，使得感官所接受到的感觉材料不是无秩序的、无结构的。比如，它将相关的感觉材料组合成关于一个物体的印象，将它们排列成时间空间上的顺序和关系，排列成因果关系上的关联顺序等等。这样组织的结果，自然使得我们得到的对外部世界的印象，符合某些规律。这些规律，实际上是我们的先天认知形式加在外部世界上的。反映这些规律的真理就是先天综合真理。换句话说，也许并非外部世界原来是如此，而是我们的心灵的一些内在结构，决定了我们只能以某种方式来认识这个世界，所以使得我们所认识的世界只能符合某些真理，也就是说，使得一些关于这个世界的判断对我们来说是必然地真的。我们不需要对这个世界的实际的观察来验证这些真理，因为所有可能被观察到的东西，由于我们用于观察和认知的官能的一些内在的结构，都已经必然地符合这些真理了。所以它们是先天的真理。另一方面，既然我们的心灵确实对我们的感官所接受的原始的感觉材料作了组织和处理，那么反映组织和处理的结果的真理，就不会仅仅是空洞的同语反复，像分析真理那样。它们会有着确实的内容。因此它们不是分析的真理。先天综合真理就是这样一些对我们来说是必然的、绝对普遍的、不真正地依赖于经验的，但又是有内容的、有所肯定的、不仅仅是同语反复的真理。
即使是从现代科学的角度看，康德的想法也有其合理性。现代认知科学认为，我们的大脑显然有着某种先天的结构，使得大脑能够以某种方式表示与处理知识，使得大脑能够在学习中很快地习得某些知识。大脑显然并非生来是一块白版。所以，很可能由于我们的大脑的这些先天结构，使得大脑所可能认识到的知识都符合某些规律。当然，康德是从所谓先验的角度来考察这个问题，而不是像现代认知科学，它是将认知过程作为自然现象来研究，是研究人的大脑如何获得与表示知识。
二、但现代数学中的关于无穷数学对象的公理似乎不是由我们的先天认知形式决定的
这种回答对于像初等算术那样的简单的数学真理似乎是有道理的，但问题是，现代数学与初等数学不同。初等数学中的基本真理，比如，初等算术与初等几何中的真理，似乎是表达我们的感官所直接认识的事物的最一般的特征，因此可能这些特征其实是来源于我们自己的先天认知结构。但现代数学所讨论的抽象数学对象，特别是那些蕴含实无穷的数学对象或复杂的数学结构，远远不同于我们的感官所直接面对的物质世界中的事物。现代数学的真理是否也是由我们的心灵的先天结构决定的，有很大的疑问。比如，我们的感官所接受到的感觉材料都是有穷的。心灵的先天认知形式如何能够决定现代数学中关于无穷数学对象和结构的真理？比如，心灵的先天认知形式如何能够决定存在着无穷集合？另外，现代数学中对无穷公理、选择公理等等的认识，似乎是经历了类似于科学中的尝试、错误、再尝试的长期的经验过程。这不一定说明它们与其它科学假说一样是经验真理，但它们似乎不是靠我们的某种直觉能力直接地认识的，不是在传统的意义上先天的。康德本人对无穷所导致的所谓二律背反的态度也说明了，要将现代数学中关于实无穷的数学对象和结构的真理纳入康德式的解释，可能会有一些实质性的困难。
三、二十世纪数学哲学对康德的继承和发展
当然，康德的哲学中可以解说数学知识的认识论资源，可能不仅仅是这些属于他的先验感性论的对先天综合真理的解说。但康德本人所考虑的数学仅限于初等算术、初等几何、初等代数等，甚至没有考虑到当时已经出现的微积分，与现代数学的距离更大。所以，究竟是否可能从康德哲学中挖掘发展出对现代数学哲学问题的回答，还有待于研究者们探索。另一方面，康德的一些基本思想其实被二十世纪的一些数学哲学流派继承下来。比如，希尔伯特接受了康德的基本思想作为有穷主义数学的认识论基础，又比如，布劳维尔也将直觉主义与康德哲学相联系。他们的哲学思想可以理解为在现代数学的背景下对康德的基本思想的发展①。
四、穆勒的经验主义及其问题
在二十世纪之前的关于数学的哲学思想中，与康德直接相对立的是穆勒错误！未找到引用源。的经验主义错误！未找到引用源。。穆勒认为，像“5+7=12”那样的算术真理，就是“5个苹果加7个苹果等于12个苹
果”、“5根手指头加7根手指头等于12根手指头”等等这些事实真理的概括，因此它们也是后天的经验真理。它们与其它经验真理的区别仅仅在于，千百年来，它们已经被经验最充分地验证了，因此是最可靠的经验真理。穆勒否认这些算术真理有着绝对的必然性。事实上，今天的物理学可以为穆勒的这种信念作旁证。比如，一些研究量子力学的基础与解释的学者提出，我们的经典命题逻辑中的一些逻辑定律，特别地，合取（即“而且”）对析取（即“或者”）的分配律，对微观粒子可能不再有效。也就是说，经典命题逻辑可能不适于描述具有量子效应的微观粒子②。因此，连经典命题逻辑都可能不是绝对地普遍与必然的。经典命题逻辑的有效性，可能是依赖于宏观物质世界的偶然的构成，即依赖于宏观物体是符合经典物理学定律的物体这一偶然事实。这样，我们也有理由相信，算术也不是绝对地普遍与必然的③。
①②
笔者感谢南星同学指出本小节原作的一些问题，与他的讨论帮助我补充、改进了这里的表述。 见Hooker (1979)。参见叶峰（1998）。 ③
关于这一点，下一章介绍一种自然主义数学哲学时还要更深入地讨论。
25