但是，如果我们作更仔细的分析就会发现，事情不是那么简单。主要的原因是，模拟物理对象的数学模型一般被描述为无穷的、连续的，但我们并不真的假设物理世界是无穷、连续的。比如，我们用一个连续、可微分的数学函数表示流体的质量分布，或者甚至表示地球上的人口的增长。这是用一个无穷、连续的数学模型，近似地模拟有限、离散的物理对象。这样的模型不是精确地为真的。鉴于今天的物理学只能描述普朗克尺度以上的事物，在所有今天的科学应用中，任何使用无穷、连续数学模型的地方，从广义相对论、量子力学，到金融数学或人口研究，都是在用无穷、连续的数学模型来近似地模拟有限、离散的事物。因此，即使抽象数学对象真的存在，而且纯数学的公理与定理是关于它们的真理，前面提到的科学应用中的第（III）类前提中的语句，也常常不是严格地真的。因此，上面的对数学应用的描述并不准确。
1.6.2 什么是真正的可应用性问题？
一、对数学应用的更准确的描述
对数学应用的更准确的描述应该是这样的。由于这些无穷、连续的数学模型只是近似地模拟那些有限、离散的具体事物，第（III）类前提中的语句本身必需包含“近似地表示”、“近似地模拟”等等表达近似性且带有模糊性的词汇。比如，对于模拟人口增长，象（1）那样的前提应该写为这种形式：
（2） 存在一个满足如此这般的微分方程的数学函数p(t)，它近似地表示地球上的人口（相对于时间）的增
长。
也许这里的“近似地表示”可以更严格、精确地表达，但在实际应用中我们一般是依赖我们对它的直观的理解。然后，再以模拟人口增长为例，数学应用中的推理步骤大致是这样的：首先，利用前提（III）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设，从前提（II）中的关于具体事物的假设，可推导出关于相应的数学对象的数学假设，一般是作为初始条件等等。比如，前提（II）中可能包含一个关于人口数量的初始值的假设。由此，并利用（2）中蕴涵着的关于函数p(t)“近似地表示”人口增长这个假设，就可推出关于函数p(t)的初始值的一个数学假设。然后，由这些数学假设，加上前提（I）中的数学公理与定理，及前提（III）中所蕴涵的其它数学假设，严格、精确地推导出一个关于抽象数学对象的数学结论。比如，由关于函数p(t)的初始值的数学假设，数学分析与微分方程理论中的定理，及（2）中蕴涵的关于函数p(t)的微分方程，推导出一个关于p(t)的数学结论。最后，再利用前提（III）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设，从那个关于抽象数学对象的数学结论，得出关于所应用的具体事物的一个结论。比如，再利用（2）中蕴涵着的关于函数p(t)“近似地表示”人口增长这个假设，从前面所得出的关于p(t)的数学结论，再得出关于人口增长的结论。
二、真正的可应用性问题
这是对数学应用的一种更准确的描述。然后，要解释数学的可应用性，就是要解释为什么最后得出的关于具体事物的结论，比如关于人口增长的结论，是真的。这里的难点是，“近似地模拟”、“近似地表示”等等都不是有严格定义的数学概念。因此，象（2）那样的前提不是严格的数学陈述，它的意义不是非常清晰。而且，上面所描述的，最后得出关于具体事物的结论的推导过程，也不完全是严格的数学推导，尤其是那些利用了前提（III）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设的推导，比如，最后一步从数学结论到物理结论的推导。因此，究竟为什么某些这样的推导能够得出关于具体事物的真结论，在逻辑上不是很清楚。这就是一个对数学的可应用性的解释，包括实在论的解释，应该解释清楚的。
更具体地说，首先，显然不是每个关于抽象数学对象的数学结论都能蕴涵某个有意义的关于具体的应用对象的结论。对可应用性的解释应该能够描述哪些关于抽象数学对象的结论可以蕴涵有意义的关于具体的应用对象的结论，也就是说，哪些数学结论是有实际意义的。比如，在人口增长的例子中，如果一个数学结论被翻译为“在某个非常短的时间区间内总人口增加了0.03个人”，那它当然是没有实际意义的。又比如，我们可以想象，我们用一个抽象的、很强的、蕴涵无穷的数学公理（如集合论中的一种大基数公理），非构造性地证明了一个关于函数p(t)的存在性定理，比如，存在一个p(t)的导数为0的时刻。这样一个数学结论是否在这个应用中有实际意义就不是很清楚。p(t)的导数等于0意味着在那一时刻函数的增长率等于0。但是，既然人口增长实际上是离散的、跳跃式的，当然存在许许多多很短的时间区间，在其中人口的总数没有变化，即增长率等于0。如果这个数学证明蕴涵着，在一个足够大的时间区间中，函数p(t)的导数都非常的小，那么直观上它可能有实际意义，它可能蕴涵着离散的人口增长也在某个大致的时刻停滞。要说明哪些数学结论是有实际意义的，哪些可能是无实际意义的，显然需要我们更仔细地分析前提中的“近似地表示”、“近似地模拟”等等。
其次，我们还需要在逻辑上清楚、严格地解释，为什么所推导出的有实际意义的结论是真的。比如，如上面所提到的，假设用了一个很抽象的、很强的集合论公理以后我们证明了
（3） 存在一个足够大的时间区间[t1, t2]（比如有一个月长），在其中，函数p(t)的导数（的绝对值）都非
常小。
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直观上（3）是有实际意义的，而且可以解释为，
（4） 在时间区间[t1, t2]中，出生与死亡大致地达到了平衡。
直观上我们也会相信这样得出的结论。但问题是，我们需要在逻辑上清楚、严格地解释，为什么这个结论（4）是真的。尤其是，我们希望能够找出，究竟是哪些前提逻辑地蕴涵了这个结论（4）。比如，既然人口增长是离散的，我们有理由怀疑，涉及实无穷的数学公理是否真的是推导出（4）的绝对必要的前提。也许，从一些关于离散的人口增长的前提，就足以推导出（4）。这需要将前提（III）中的“近似地表示”、“近似地模拟”等等，用精确的数学化语言严格地表达出来，然后将（I）、（II）、（III）等三类前提，都用精确的语言表达，然后才能准确地回答，究竟在这个推导中，（4）是逻辑地、必不可少地依赖于哪些前提假设。还有，我们希望能够说明，数学推导如何保持了“近似地模拟”这个关系。数学推导需要保持这个关系，这样，由前提中的数学对象近似地模拟具体事物，才能得到（3）那样的数学结论也是近似地模拟具体事物，然后才能得到（4）那样的关于具体事物的结论。
这些是解释数学的可应用性中需要做到的。在二十世纪的各种实在论数学哲学流派中，还没有任何一种流派作了这个工作，因此，还没有任何一个实在论哲学真正完整地解释了数学的可应用性。关于这一点，本书后面的相关章节还要对每个具体的实在论哲学思想作更细致的分析、论证。
1.6.3对可应用性的解释可能支持反实在论
一、无穷数学的定理也许不是在应用中逻辑上绝对地不可缺的
也许实在论者们认为，这些只是技术性的细枝末节，但事实上，它对实在论与反实在论之间的争议可能会有重大的影响。因为，这种对数学应用的解释要能够支持数学实在论，它的结果应该显示，在一个数学应用中，最后得出的关于有限、离散的具体事物的结论，确实在逻辑上依赖于关于抽象数学对象的那些公理，而且是必不可少地依赖于那些公理。比如，对前面的例子，它应该显示，最终得出的结论（4）是必不可少地依赖于某些关于抽象数学对象的数学公理。这样，成功的数学应用才能够反过来核证那些关于抽象数学对象的数学公理。但是，如果我们真正地去完成那些技术性的细节，所得出的结果有可能恰好相反。也就是说，有可能我们会发现，之所以应用无穷、连续的数学模型会最终得出关于有限、离散的事物的真理，就是因为关于无穷、连续的数学模型的那些前提，其实不是必不可少的。也就是说，我们的关于有限、离散的具体事物的结论真正依赖的前提，仅仅是关于有限、离散的事物本身的一些前提。
二、人口增长的例子
比如，直观上，前提（2）是合理的，是因为那个微分方程在某种意义上“近似地”刻画了人口增长。前提（2）本身直接地提到了那个数学函数p(t)，同时断言p(t)严格地满足那个微分方程，然后它断言p(t)近似地表示人口增长。但是，可以想象，我们也许可以改写前提（2），使它不提那个数学函数，而直接地将“那个微分方程在某种意义上近似地刻画了人口增长”这一点，表达为关于在不同时刻的人口总量的变化的陈述。比如，可以用一个差分方程代替那个微分方程，也就是将微分方程离散化，然后将差分方程叙述为不是关于函数或一系列实数（或有理数）的论断，而是关于地球上不同时刻的人口数量这个物理属性的论断。这很可能会比原来的前提（2）更冗长得多，但直观上，这似乎才是我们的关于地球上的人口增长的真正的前提假设，是真正严格准确地（而不仅仅是近似地）表达了人口增长的规律。直观上，真正蕴涵我们的关于人口增长的结论（4）的，也许应该是这样的前提。既然这样的前提直接谈论人口增长，而不谈论抽象数学对象，它应该是属于类型（II）的前提。
换句话说，象前提（2）那样引入一个可微分的数学函数来表达人口增长的规律，也许只是为了用简化的方式，因而不是最精确的方式，来表达人口增长的规律。更一般地，类型（III）中的前提，是表达如何用无穷数学模型简化地、近似地模拟有限的具体事物。直观上，也许我们可以去掉其中的简化手段，将类型（III）中的前提直接表达为关于所应用的有限的具体事物的论断。这实际上是将它们转化为类型（II）的前提。结果将是，类型（I）中的纯数学的公理就不必要了，因为没有类型（III）的前提将它们与类型（II）的前提联系起来，而最后的关于有限的具体事物的的结论，比如结论（4），就将只是一些类型（II）的前提的逻辑推论。
这样做的结果应该会使得类型（II）的前提非常地冗长、繁琐，因而从实用的角度来说是不可取的。利用数学定理以及（2）那样的将数学对象与具体事物联系起来的前提，可以更简单地推导出我们所感兴趣的关于有限的具体事物的结论，比如结论（4）。但是，只要这原则上可行，它在理论上就能够真正地解释为什么所得出的关于有限的具体事物的结论，比如结论（4），是真的。它意味着，利用数学定理可以更简单地推导出我们所感兴趣的关于有限的具体事物的结论，但之所以一个这样的推导能够保证所得出的结论是关于有限的具体事物的真理，恰恰是因为，原则上，我们也可以消除数学定理，而仅仅从我们真正地假设的关于有限的具体事物的前提，即从如上描述的消去类型（III）的前提后所得的类型（II）的前提，推导出那个结论。
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三、因此实在论的假设将与解释可应用性无关
这将是一个反实在论者也可以接受的对数学应用的解释，而且更进一步，它支持了反实在论。因为，它将说明实在论的信念是与解释数学的可应用性无关的。也就是说，表面上谈论抽象数学对象的数学公理与定理在应用中可以帮助推导出关于具体事物的真理，不是由于这些数学公理与定理本身是真的，而恰好是由于，它们虽然帮助简化了我们的推导，但却不是绝对地不可或缺的，消除这些数学公理与定理以后，我们将得到一个逻辑上更清晰的（虽然是过于繁琐的，因而从实用的角度是不可取的），从关于有限的具体事物的前提，到所考虑的关于有限的具体事物的结论的直接的推导。换句话说，解释那些数学公理的可应用性将恰好在于证明，那些数学公理，虽然带来很大的简化，却是原则上可消除的，因此应用的成功仅仅证明了它们的便利性，却不能帮助核证它们的真理性。
下一章介绍的那种彻底自然主义的数学哲学将沿着这个思路解释数学的可应用性。关于这方面的研究已有一些成果，将在下一章给出相应的文献。反之，二十世纪的其它反实在论数学哲学都还没有对数学的可应用性作出合理的解释。而且，有一些作者似乎没有意识到这是他们的反实在论数学哲学的最重要的问题①。
1.7 数学哲学研究的意义
1.7.1 二十世纪数学哲学的演变
一、二十世纪早期的数学哲学主要试图为数学提供基础
二十世纪的数学哲学经历了一些演变。作为一个相对独立的研究领域，二十世纪的数学哲学源于二十世纪初的数学基础研究。十七、十八世纪的微积分中使用了许多模糊不清的概念，因而导致了一些悖论与争议。在十九世纪，数学分析经历了一个严密化的过程。经过柯西（Cauchy）错误！未找到引用源。②、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）错误！未找到引用源。③等人的工作，极限、收敛、连续、微分、积分等等数学分析中的基本概念有了较清晰、严密的定义。在十九世纪末，戴德金（Dedekind）错误！未找到引用源。④等人进一步建立了作为数学分析的基础的实数理论，康托尔（Cantor）错误！未找到引用源。⑤则发明了集合论，使得实数理论可以最终建立在集合论的基础之上。康托尔的集合论并没有立即被数学家们接受。一些与集合论有关的悖论在世纪之交被陆续发现，更使得一些数学家强烈地批评集合论，包括当时的一些最出色的数学家，如彭加勒（Poincaré）
⑥⑦
错误！未找到引用源。，赫尔曼?维尔（Hermann Weyl）错误！未找到引用源。等等。另一方面，弗雷格在十九世纪末发明了现代数理逻辑，并试图在逻辑的基础上建立严密的算术与数学分析理论，而1903年罗素（Russell）⑧在弗雷格的系统中发现了矛盾。这些一般被称为十九世纪末至二十世纪初的关于数学基础的危机。
面对这种危机，在二十世纪初产生了几个数学基础研究的流派。有三个是基于一些哲学思想的数学基础流派：罗素与怀特海（Whitehead）的逻辑主义、布劳魏尔的直觉主义与希尔伯特的形式主义；还有不那么顾忌哲学基础的集合论公理化运动。由于种种原因，最后被数学家们普遍认可为现代数学的基础的，是公理化的集合论。
二、二十世纪中期以后的数学哲学退回到考虑哲学问题
进入二十世纪三、四十年代以后，关于数学基础的争议再没有引起一般数学家们的注意力。公理化以后的集合论似乎已经排除了所有可能的矛盾，以及数学概念上的不清晰之处等等，成为数学家们普遍接受的基础；关于数学的哲学问题也都离开了几乎所有数学家们的视野。对数理逻辑与数学基础的研究还在少数逻辑学家中继续着，但它们对绝大多数数学家们不再产生任何影响。
从二十世纪三、四十年代起，对数学中的哲学问题的思考，主要是在哲学家们中间进行，当然也包括个别的对哲学有特别兴趣的数学家或逻辑学家。比如，卡尔纳普继续了逻辑经验主义对逻辑真理、数学真理的分析；蒯因则开始了对逻辑经验主义的严厉批评，并在此基础上发展他的数学实在论思想；哥德尔从四、五十年代起也基
①
②③
见Ye (forthcoming-a)中对一些当代反实在论数学哲学的批评。
Augustin-Louis Cauchy（1759 – 1857），法国数学家。 Karl Weierstrass（1815 – 1897），德国数学家。 ④
Richard Dedekind （1831 – 1916），德国数学家，以戴德金分割方式定义实数的发明者。 ⑤
Georg Cantor（1845 – 1918），德国数学家，集合论的发明者。 ⑥
Henri Poincaré（1854 – 1912），法国数学家与理论物理学家。 ⑦
Hermann Weyl（1885 – 1955），德国数学家。 ⑧
Bertrand Russell （1872 – 1970），英国哲学家与逻辑学家。
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本专注于思考哲学问题。到了二十世纪后半叶，在英语国家，数学哲学完全成为分析哲学的一个分支。其中最受到关注的问题，就是我们前面介绍的本体论问题、认识论问题、意义理论问题等等，即最中心、也最经典的哲学问题在数学这一知识领域的反映。
1.7.2 数学哲学研究的意义
一、对一般哲学研究的意义
由于现代数学这个知识领域的一些特殊性，使得关于现代数学的这些哲学问题，成为一般的哲学思想的试验场。具有经验主义、实用主义、理性主义、或自然主义等等各种一般性的哲学倾向的哲学家，都很自然地尝试将这些一般性的哲学思想运用于数学这个知识领域，以检验这些一般性的哲学世界观。现代数学的特殊性在于，一方面，它被认为是整个科学的基础，而且是提供了最可靠的知识，而另一方面，它所研究的对象表面上超出了经验的范围，是所谓抽象对象，甚至无穷的抽象对象。因此，如前面几节所描述的，关于数学的本体论、认识论、语义学、可应用性等等问题，对每一种哲学思想都是挑战。还有，由于二十世纪的数理逻辑与数学基础研究，数学理论可以说已经得到了最彻底的分析，而且，数学理论的形式化、公理化，使得数学概念、推理中的任何模糊性、不确定性都被消除，也使得由于这些模糊性、不确定性而导致的回答哲学问题的困难都被消除。因此我们一般相信，假如本体论、认识论、意义理论、分析性、先天性等等这些哲学问题有可能得到确定的回答，那么关于数学的这些问题也许应该首先得到回答。因此数学哲学问题常常成为各种哲学思想首先尝试回答的哲学问题，成为哲学思想的试验场。这是数学哲学研究对一般哲学的意义。
二、二十世纪数学哲学与数学实践的关系
自从大约二十世纪三十年代起数学家们普遍地接受公理化的集合论作为数学基础以后，数学哲学研究就没有对数学实践产生影响。但是，这当然不等于说，对数学的哲学上的思考永远不会对数学实践产生影响。从科学史的角度来说，一般认为，在科学研究的所谓“范式转换”时期，或所谓的“科学革命”时期，哲学思考可能对科学实践产生一些影响。比如，许多学者认为，马赫对绝对时空观念的分析、批评，正面地影响了爱因斯坦。这种影响，似乎是由于一些哲学上的分析、思考，动摇了一些旧的观念上的教条，比如绝对时空的观念，从而鼓励科学家放弃一些教条，去探索新观念。当然，一种哲学思考也可能表现为对一些新观念的抵触，比如爱因斯坦早期对量子力学的抵触。这也许是负面的影响。它也许是由于一些新观念与一些已有哲学信念相冲突，从而导致了对新观念的疑虑，而新观念后来被实践证明是正确的。当然，也有可能新观念后来被证明是无根据的幻想。已有的哲学信念，本身也是对过去的所有知识的概括。并不是任何新观念都是对的。所以，应该说，哲学思考对科学实践的可能的影响是复杂的。
就现代数学来说，接近于这种所谓“研究范式转换”的，就是十九世纪末至二十世纪初现代数学被确立这一时期。其间，由于新观念的产生，激活了许多对数学的本性与基础的哲学思考。今天回过头来看，也许其中多数哲学思考并没有对二十世纪的数学实践产生正面的影响。比如，直觉主义与逻辑主义所提出的，更多的是从哲学动机出发的数学基础，并没有被数学家们接受。希尔伯特的试图为集合论与无穷数学作辩护的形式主义，也事实上没有成功，虽然希尔伯特始终还是坚持接受集合论与无穷数学。数学家们似乎更多的是基于实用上的考量而接受了集合论，比如，集合论能够使得数学语言更严密而没有矛盾或歧义，能够定义更多的数学结构、发展更多的数学理论，能够证明更多的数学定理，而且更简单、方便等等。数学家们似乎不再顾虑关于集合论的哲学上的问题。而且，似乎正是这种实用的、回避哲学问题的精神，才使得二十世纪的经典数学得以迅速发展。
三、数学哲学对数学实践的可能的影响
这是我们对二十世纪的数学哲学对数学实践的影响的评价。但即使这样，它也没有完全排除哲学思考将来还有可能会对数学实践产生正面的影响。前面已经提到，哲学思考的影响可能是复杂的。而且，如果哲学上的分析能够消除一些仅仅由于习惯而产生的、没有真实依据的、教条式的信念，从而鼓励我们去探索新的观念、新的方法，那么它有可能产生正面的影响。正是在这一点上我们认为，一种反实在论的数学哲学，有可能对未来的数学实践产生正面的影响。因为，数学实在论相信数学提供了对某种客观实在的绝对真理，而如果反实在论的分析是正确的，那么它意味着实在论者的这种信念是没有真实根据的，仅仅是我们将我们自己的一些想象投射到外部世界的结果。而且，这种教条式的信念有可能正在在阻碍着我们去探索新的数学语言，或者新的数学想象。
换句话说，如果数学是关于某种客观实在的客观真理，那么我们期望已知的这些客观真理是相对稳定的，也就是说，我们期望今天的数学会永远被保留。而且我们一般还相信，客观真理总有其内在价值，不论它们是否在其它方面有用。但是，反实在论是将数学看成一种工具。一种工具的价值仅仅在于它有助于达到某个目的。就数学来说，这个目的应该是科学应用。而且，一种工具的价值还可能由于其它情况的变化而被改变。比如，就无穷数学这个工具来说，有可能，在计算机出现之前，用无穷、连续的数学模型来模拟有限、离散的事物是对于我们来说最有效的。但是，在功能越来越强的计算机出现以后，有可能用计算机来模拟有限、离散的事物会变得更有
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效。这意味着，有可能，用一种谈论象计算机程序那样的东西的数学语言来表达我们的科学理论，会变得比用谈论无穷的抽象数学对象的经典数学语言更有效。反实在论数学哲学很自然地鼓励这一类探索。
四、对数学教育的可能影响
对数学的不同哲学理念，也会很自然地影响到我们对数学教育的看法。如果数学，特别是抽象数学，是关于某种客观实在的客观真理，那么，数学教育的目的之一很自然地就是帮助学生认识这些真理，以及学习认识这些真理的方法，而且这可能被认为具有内在价值。这种理念很自然地导致了试图将越来越多的抽象数学放在非数学专业的高等教育中，甚至中等或初等教育中。反之，如果数学在本质上是一种工具，那么我们很自然会采取另外一种态度，即更多地考虑教导学生如何使用这种工具。比如，考虑到在现实世界中求体积等数学运算，如果精度达到了普朗克尺度，那一定是无意义的。因此，任何现实世界中的求体积等运算都只要很有限的精度，都在原则上只能是有限和等等。因此有可能，仅仅是由于缺乏很好的计算机及求体积的数学软件，才使得我们需要用积分公式求体积，因此才需要学生去学习严格的极限、积分等等数学分析中的较复杂、抽象的概念，去记忆那些复杂的积分公式与求积分的技巧。这是将无穷数学视为一种工具的很自然的推论。如果这是对的，那么，很自然的想法是，也许我们应该做的是更多地设计方便实用的数学软件，然后在数学教育中更多地教学生运用数学软件解决问题的方法，而不是教学生抽象的极限、积分等概念，教学生积分公式与求积分的技巧，乃至教学生严格地表达极限、连续等概念的所谓的?-?语言等等。这种数学教育理念，应该能够使得非数学专业的学生能够掌握相当复杂、相当有力的数学工具，节省许多学习时间，极大地提高他们在自己的专业领域中的数学应用的程度，提高他们的工作效率与创造性。当然，数学专业的学生，或生产数学软件的研究人员，还是需要掌握最抽象的数学。这正是许多科学技术领域中所不断发生的事情，即由于专业分工带来了一个人在自己的专业领域中的创造性获得极大的提高。
五、自然主义数学哲学研究的价值
最后，本书将采纳自然主义的基本世界观①。从自然主义的角度看，数学哲学研究是广义的科学研究的一部分。对自然主义者来说，人是自然的产物；人的思维活动原则上可归结为大脑的活动，因而是自然现象；人的数学思维活动因此也是自然现象。所以，数学哲学就是研究人的数学思维活动这种自然现象的科学，是科学的一部分。当然，人的数学思维活动这种自然现象包含许多方面。比如，有心理的方面，那应该属于心理学。自然主义的数学哲学则关注其中与逻辑及哲学有关的方面，包括在自然主义框架下描述数学语言的意义，讨论关于数学知识的认识论问题，分析数学的先天性、必然性，分析数学的客观性，从逻辑上解释数学的可应用性等等。由于它是对人的数学思维活动这种自然现象的分析、描述，它与一般的科学研究在实质上是一样的②。所以，即使不论数学哲学研究对一般哲学研究的意义以及对数学实践与数学教育的可能的影响，作为对一类自然现象的科学研究，自然主义数学哲学也有其自身的价值，就像所有其它的对自然现象的科学研究。这是自然主义的数学哲学在另一个层面上的意义。
①②
见下一章对什么是自然主义的说明。 下一章将详细说明这些。
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