三角函数
一．知识点
1．角度制与弧度制的互化：3600?2?, 1800??,
1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝?≈0.01745（rad）
?1802.弧长及扇形面积公式 弧长公式：l??.r 扇形面积公式:S=l.r
12?----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
3.任意角的三角函数
22设?是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=x?y
(1)正弦sin?=
yxy 余弦cos?= 正切tan?= rrxy y x — + O
+ —
yPT(2)各象限的符号：
y
+?cos???sin?2+ x O — — — + O + —
sin? cos? tan? 4、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
5.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：sin2?+ cos2?=1。 （2）商数关系：
OMAxsin??=tan?（???k?,k?z） cos?2 三角函数诱导公式
诱导公式（一）
sin(360?k??)?sin? cos(360?k??)?cos?诱导公式（二）
sin(??)??sin? cos(??)?cos?tan(360?k??)?tan?
tan(??)??tan?
诱导公式（三） 公式口诀：奇变偶不变，正负看象限（把α看作锐角）； sin(?2??)?cos? cos(?2??)?sin? sin(?2??)?cos? cos(?2??)??sin?
sin(180???)??sin? cos(180???)??cos?sin(180???)?sin? cos(180???)??cos?sin(tan(180???)?tan? tan(180???)??tan?
3?3?3?3???)?-cos? cos(??)?-sin? sin(??)?-cos? cos(??)?sin? 2222运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数． 三角函数的简化过程图： 任意负角的 公式 任意正角的 00~3600间角 公式 三角函数 的三角函数 三角函数 00~900间角 的三角函数 求值 2cos(???)?3sin(???)例1. 已知tan(???)?3,求： 的值。
4cos(??)?sin(2???)解：?tan(???)?3,?tan??3.
?2cos??3sin??2?3tan??2?3?3原式? ???7.
4cos??sin?4?tan?4?3高考链接：
1.若f(sinx)?16sinx?cosx，求f(x)的解析式．
2.若tan??2，则
3sin??2cos??
sin??3cos?2cos(??a)?3sin(??a)的值．
4cos(?a)?sin(2??a)3. 已知 tan(??a)?3, 求
1?sinx是 （ ） cosx A.奇函数 B.偶函数 C.非奇函数非偶函数 D.奇且偶函数
4.f(x)?lg5．若???0,?????，则33?log3sin?等于（ ）
A．sin? B．
11 C．?sin? D．? sin?cos?三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
y=sinx-4?-7?-3?2-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1o3?2?2?2?5?23?7?24?x
y=cosx-3?-4?-7?2-5?2-?-2?-3?2-?2y1-1o?2?3?22?5?23?7?24?x
yy=tanx-3?2-?-?2o?2?3?2x
2．三角函数的单调区间：
????3????y?sinx的递增区间是?2k??，2k???(k?Z)，递减区间是?2k??，2k???(k?Z)；
22?22???y?cosx的递增区间是?2k???，2k??(k?Z)，递减区间是?2k?，2k????(k?Z)，
????y?tanx的递增区间是?k??，k???(k?Z)，
22??（其中A?0，??0）3．函数y?Asin(?x??)?B
最大值是A?B，最小值是B?A，周期是T?对称轴是直线?x???k?? 4.三角函数的伸缩变化
先平移后伸缩
向左(?>0)或向右(??0)???????? y?sinx的图象平移?个单位长度横坐标伸长(01)?????????? 得y?sin(x??)的图象1到原来的(纵坐标不变)2??，频率是f??，相位是?x??，初相是?；其图象的2??2(k?Z)，凡是该图象与直线y?B的交点都是该图象的对称中心。
?纵坐标伸长(A?1)或缩短(0
向上(k?0)或向下(k?0)? y?sinx的图象?????????为原来的A倍(横坐标不变)? 得y?Asinx的图象?????????1到原来的(纵坐标不变)横坐标伸长(0???1)或缩短(??1)纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?A?1)?向左(??0)或向右(??0)???????? ?得y?Asin(?x)的图象
平移?个单位?得y?Asin(?x??)?k的图象． 得y?Asinx(?x??)的图象???????平移k个单位长度5．由y＝Asin(ωx＋?)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ．．
6．对称轴与对称中心： y?sinx的对称轴为x?k???，对称中心为(k?,0) k?Z； 2向上(k?0)或向下(k?0)?，0）作为突破口，要从?y?cosx的对称轴为x?k?，对称中心为(k???； 2,0)对于y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、?的正负利用单调
性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“y?Asin(?x??)、y?Acos(?x??)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y=Asin（ωx+?）的简图：
π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 22正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质（图表形式）
五点取法是设x=ωx+?，由x取0、
四．典例解析
题型1：三角函数的图象
例1．（全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）
解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，
?2）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。
题型2：三角函数图象的变换
（四川）将函数
y?sinx的图像上所有的点向右平行移动
?个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），10所得图像的函数解析式是
（A）
y?sin(2x??1?1?) （B）y?sin(2x?)（C）y?sin(x?) （D）y?sin(x?) 105 210220??个单位长度，所得函数图象的解 10【答案】C
解析：将函数y?sinx的图像上所有的点向右平行移动析式为y＝sin(x－
?) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是101?y?sin(x?).
210题型3：三角函数图象的应用
例1.右图所示的曲线是y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图象的一部分， 求这个函数的解析式.解：由函数图象可知
y25?6
45??2?A?2,T?(?)??,即??，3612????25?又(，0）是“五点法”作图的第五个点，6 5??即2????2?，???.63?所求函数的解析式为y?2sin(2x?o?12xy3NM?2?3).o?3思考：下图为y?Asin(?x??)的图象的一段，求其解析式. ?解1：以点N为第一个零点，则A??3,
35?x6T?2(5???)??, 63???2,此时解析式为y??3sin(2x??).?点N(?,0)6???
?6?2???0????3.?所求解析式为y??3sin(2x?2??2, T?3)解2：以点M(?3,0)为第一个零点，则A?3,??解析式为y?3sin(2x??),将点M的坐标代入得2??3???0????2?, 3?所求解析式为y?3sin(2x?2?). 3例2.函数y?Asin(?x??)?k(A?0,??0) 在同一周期内，5?711? 当x?2 时，y有最大值为； 当x?时，y有最小值为?，3333 求此函数的解析式.