球的作用力是多少？ （3）若球在最高点速度为2
gR时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球
的作用力是多少？ 〖思路分析〗（1）球在最高点受力如图（设杆对球作用力T1向下）
则T1+mg=mv1/R，将v1=gR代入得T1 =0。故当在最高点球速为gR时，杆对球无作用力。 当球运动到最低点时，由动能定理得： 2 T22
2mgR=mv2/2- mv1/2，
2
解得：v2=5gR， 球受力如图：
2
T2-mg=mv2/R， 解得：T2 =6mg mg 同理可求：（2）在最高点时：T3=-3mg/4 “-”号表示杆对球的作用力方向与假设方向相反，即杆对球作用力方向应为向上，也就是杆对球为支持力，大小为3mg/4 当小球在最低点时：T4=21mg/4
（3）在最高点时球受力：T5=3mg；在最低点时小球受力：T6=9mg 〖答案〗（1）T1 =0 ，T2 =6mg （2）T3=3mg/4，T4=21mg/4 （3）T5=3mg，T6=9mg 〖方法总结〗（1）在最高点，当球速为gR，杆对球无作用力。
当球速小于gR，杆对球有向上的支持力。当球速大于gR，杆对球有向下的拉力。 （2）在最低点，杆对球为向上的拉力。
〖变式训练4〗如图所示细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球的轨道的最低点和最高点。则杆对小球的作用力可能是： b A、 a处是拉力，b处是拉力。 B、 a处是拉力，b处是推力。 C、 a处是推力。B处是拉力。 O D、a处是推力。B处是推力。 〖答案〗AB
a
2
二、 第六章万有引力与航天
（一）知识网络
托勒密：地心说
人类对行 哥白尼：日心说
星运动规 开普勒 第一定律（轨道定律）
行星 第二定律（面积定律）
律的认识 第三定律（周期定律）
运动定律
万有引力定律的发现
万有引力定律的内容 万有引力定律 F＝G
m1m2 2r 引力常数的测定
gR2 万有引力定律 称量地球质量M＝
G4?2r3 万有引力 的理论成就 M＝ 2GT
4?2R3 与航天 计算天体质量 r＝R,M= 2GTgR2 M=
G4?2r3 人造地球卫星 M= 2GTMmv2 宇宙航行 G2= m
rr mr?
ma
第一宇宙速度7.9km/s 三个宇宙速度 第二宇宙速度11.2km/s 地三宇宙速度16.7km/s
2 宇宙航行的成就
（二）、重点内容讲解 计算重力加速度
1 在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。
M5.98*1024?112G=G2=6.67*10*=9.8(m/s)=9.8N/kg 32R(6730*10)即在地球表面附近，物体的重力加速度g＝9.8m/s。这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。
2 即算地球上空距地面h处的重力加速度g’。有万有引力定律可得：
2GMR2g'GMR2()g g’＝又g＝，∴＝，∴g’＝
R?hR2g(R?h)2(R?h)23 计算任意天体表面的重力加速度g’。有万有引力定律得： g’＝
GM'GM（M’为星球质量，R’卫星球的半径），又g＝， 22RR'∴
g'M'R2?()。 ＝MR'g体运行的基本公式
在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向心力，均来自于中心天体的万有引力。因此万有引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。
1 向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为M，行星（或卫星）的圆轨道半径为r，
Mm2?2v22)=mr(2?f)2=m?v。 则向心力可以表示为：Fn＝G2＝ma＝m=mr?=mr(Trr2 五个比例关系。利用上述计算关系，可以导出与r相应的比例关系。 向心力：Fn＝G
Mm1，F∝； 22rrM1向心加速度：a=G2, a∝2;
rr线速度：v＝
GMr，v∝
1r;
角速度：?＝
1GM，∝； ?33rr周期：T＝2?r3，T∝r3。 GM1r3 v与?的关系。在r一定时，v=r?,v∝?;在r变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或靠近中心天体时，r不断变化，v、?也随之变化。根据，v∝
和?∝
1r3，这时v与?为非线性关系，而不是正比关系。
一个重要物理常量的意义
Mm2?2r3GM)∴2??k.这实际根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G2＝mr(TrT4?2r3上是开普勒第三定律。它表明2?k是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体
T的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。
估算中心天体的质量和密度
1 中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：G
Mm2?2()，∴M＝mr2Tr4?2r3＝ 2GT2 中心天体的密度
方法一：中心天体的密度表达式ρ＝
M33，V＝?R（R为中心天体的半径），根据前V43?r3面M的表达式可得：ρ＝。当r＝R即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝23GTR3?。此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时2GT间，周期T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。
GMM3ggR2方法二：由g=2,M=进行估算，ρ＝，∴ρ＝
V4G?RRG（三）常考模型规律示例总结
1. 对万有引力定律的理解
（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。 （2）公式表示：F=
Gm1m2。 2r（3）引力常量G：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg的物体（可看成质点）相距1m时的相互作用力。
-1122
③G的通常取值为G=6。67×10Nm/kg。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。
（4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。
②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个
质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性：
①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。
②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。
③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。
〖例1〗设地球的质量为M，地球的半径为R，物体的质量为m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：
A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。
A、 物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F=B、 物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。 D、物体离地面的高度为R时，则引力为F=
GMmh2。
GMm 24R〖答案〗D 〖总结〗（1）矫揉造作配地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。 （2）F=
Gm1m2。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间r2的距离。 （3）F=
Gm1m2适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能2r看为质点，故选项C的推理是错误的。
〖变式训练1〗对于万有引力定律的数学表达式F=
Gm1m2，下列说法正确的是： r2A、公式中G为引力常数，是人为规定的。 B、r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。
C、m1、m2之间的引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关。 D、m1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 〖答案〗C
2. 计算中心天体的质量
解决天体运动问题，通常把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。
GMmmv22?22??mr??mr()?ma式中M为中心天体的质量,Sm为运动天体的2rTr质量,a为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T为运动天体的周期,r为运动天