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AD2 ，而位于生产边界上的决策单元（DMU） B 则只需要投入 AB 数量。
如果生产技术为可变规模报酬（VRS），则生产前沿（或边界）是由E、D1 、D3、D5和G 连接而成的线段，D2和D4位于前沿面的下方。C点是可变规模报酬的边界上的点，C点相对于D2点是最优的点，则在此生产技术条件下，DMU D2 的纯粹技术效率则为：
PTED2?AC/AD2 （6.7）
我们可以根据上面的公式（6.6）及（6.7），求出DMU D2 的技术效率和纯技术效率值，再根据（6.8）即可求出规模效率（SE）：
SED2?TED2/PTED2?AB/AC （6.8）
从图中可以看出，对于D2点、C点和B点三个点而言，D2点与C点相比较，D2点是无效率点，这里的无效率产生的原因是由于D2点的生产技术不是最好的。虽然在生产技术为可变规模报酬假设下，C 点虽位于生产边界上，相对于以每单位投入平均产出最大之B 点而言，其无效率是因为规模报酬没有达到最适当的规模(固定规模报酬)导致的。所以，D2点的无效率包括CD2的纯技术无效率和BC的规模无效率。
如果根据（6.8）式求出的SE 若为1，代表该DMU 处于固定规模报酬阶段；若小于1 则表存在规模无效率，该DMU 必然处于规模报酬递增或递减阶段。
如何判断DMU是处于何种规模报酬的状态？可以根据下列的步骤来进行判断。首先，比较由（6.4）求出的非递增规模报酬下的技术效率θ 与由公式（6.5）求出的纯技术效率PTE。如果θk = PTEk ，则表示该DMU 的规模无效率是规模报酬递减所导致的；如果θk ≠ PTEk ，则表示该DMU的规模无效率是因为规模报酬递增(Coelli 1996; Coelli, Rao et al. 2005)。
6.3.2 Malmquist 生产力指数及其变动的计算
6.3.2.1 概念
DEA分析主要是针对各个决策单元只有1年的数据进行对比不同决策单元的相对效率，而不能对比多个时间年度的数据。当衡量的数据是多时间年度数据时（面板数据），可以采用莫氏生产率指数（Malmquist Productivity Index，MPI）来衡量生产率的变动，并对生产率的变动进行分解。这种方法是DEA方法的一种扩展。
莫氏生产率指数（MPI）是Caves、Christensen和Diewert(1982)提出的，简称CCD。他们在Shephard(1970)的距离函数(Distance Function)基础上，把Malmquist(1953)的理论应用于生产力的衡量上，提出了莫氏生产率指数的概念(Malmquist 1953; Shephard 1970; Caves,
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Christensen et al. 1982)。
Caves、Christensen和Diewert(1982)分别构造了产出角度（Output-Oriented）和投入角度（Input-oriented）的莫氏生产率指数（MPI），其定义为：两期之间产出面效率的变动（或投入面效率变动）。该方法不仅可度量全要素生产率（TFP）随时间逐期变化的情况，而且还可以将这一变化进一步分解为，技术进步、技术效率改进和规模效率变动等几个重要组成部分。为了说明莫氏生产率指数，首先必须引入距离函数。
根据F?re et al.(1994)定义，距离函数(Distance Function)是前面已经讨论过的规模不变假设条件下求出的技术效率（TE）的倒数。假设F(y,xCRS)表示在固定规模报酬条件下，投入x，产出为y时的技术效率，则距离函数可以表示为D(y,x)?1/F(y,xCRS)。
假设（Xt,Yt）和（Xt+1,Yt+1）分别表示时期t、t+1的投入产向量，则以 t 时期技术为参
tt照的，时期t的投入产出向量的产出距离函数用Do(Xt,Yt)来表示；用Do(Xt?1,Yt?1)表示以
t 时期技术为参照的，时期t+1的投入产出向量的产出距离函数。
第t时期的莫氏生产率指数为：
tDo(Xt?1,Yt?1) （6.9） M(Xt?1,Yt?1,Xt,Yt)?tDo(Xt,Yt)to第t+1时期的莫氏生产率指数为：
Mt?1ot?1Do(Xt?1,Yt?1) （6.10） (Xt?1,Yt?1,Xt,Yt)?t?1Do(Xt,Yt)虽然Caves、Christensen和Diewert提出了莫氏生产率指数，但也只是理论上的，并没有做实证的研究。直到F?re et al.(1994)对CCD的理论进行修正，给出一种新的模式，才使莫氏生产率指数得以广泛应用(F?re, Grosskopf et al. 1994)。其模式是用上述的几何平均数表示，这样可以避免由于 t 时期的选择不同，造成的结果的偏误。F?re et al.(1994)重新定义的莫氏生产率指数（又称为全要素生产率，Total Factor productivity（TFP））的公式表达为：
tt?1?Do(Xt?1,Yt?1|CRS)Do(Xt?1,Yt?1|CRS)?tMTFP(Xt?1,Yt?1,Xt,Yt)????tt?1D(X,Y|CRS)Do(Xt,Yt|CRS)??ott1/2（6.11）
如果MTFP?1时，表示从t到t＋1期的生产效率时增加的，MTFP?1时，则表示生产率降低。
从上式可以看出，为了计算莫氏生产率指数，需要计算4种混合的距离函数，
ttt?1t?1Do(Xt?1,Yt?1|CRS)，Do(Xt,Yt|CRS)，Do(Xt?1,Yt?1|CRS)，Do(Xt,Yt|CRS)。以
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上4个距离函数可用分别通过下面4个DEA模型来计算。
假定有I个厂商，每个厂商有N种投入和M种产出。第i个厂商 t 时期的投入和产出的列向量分别为：
?xit,1??yit,1??x??y??it,2??it,2?? yit???， xit???????????xit,N??yit,M?????则投入矩阵X为N*I的矩阵。可以表示为：
Xt??x1tx2tKxitK?x1t,1x2t,1xit,1xIt,1??xx?xx1t,22t,2it,2It,2??? xIt????????x1t,Nx2t,Nxit,NxIt,N???N?I?y1t,1y2t,1yit,1yIt,1??yy?yy1t,22t,2it,2It,2??? yIt????????y1t,Ny2t,Nyit,NyIt,N???M?I产出矩阵Y为M*I阶的矩阵，可以表示为：
Yt??y1ty2tKyitK?1??1???效率得分?则是一个标量，而????为一个I*1的向量，那么这四个距离函数可以用
??????1??I?1矩阵的方式表示为：
t[Do(Xt,Yt|CRS)]?1?Fot(Xt,Yt|CRS)?max?
?,?St： ??yit?Yt??0 （6.12）
xit?Xt??0
??0
以 t 时期的技术作为参考，同时以t时期的投入和产出数据计算的技术效率得分。
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t?1[Do(Xt?1,Yt?1|CRS)]?1?max?
?,?St： ??yi,t?1?Yt?1??0
xi,t?1?Xt?1??0 （6.13）
??0
以 （t+1） 时期的技术作为参考，同时以（t+1）时期的投入和产出数据计算的技术效率得分。
t[Do(Xt?1,Yt?1|CRS)]?1?max?
?,?St： ??yi,t?1?Yt??0
xi,t?1?Xt??0 （6.14）
??0
以 t 时期的技术作为参考，同时以（t+1）时期的投入和产出数据计算的技术效率得分。
t?1[Do(Xt,Yt|CRS)]?1?max?
?,?St： ??yi,t?Yt?1??0
xi,t?Xt?1??0 （6.15）
??0
以 （t+1） 时期的技术作为参考，同时以 t 时期的投入和产出数据计算的技术效率得分。
通过计算上述的4中技术效率得分，就可以用来计算多个时期的技术变动。
多个时期的全要素生产力变动，主要由两种来源：效率变动与技术变动。效率是衡量某一时点，实际的产出水平与最优效率生产水平的差距，即在不改变技术水平的情况下，提高资源的利用效率。因此，效率变动（效率提高）就是将投入产出组合由生产可能集合的内部推向生产边界（即原来的技术条件下的前沿边界）。技术变动则反映了在不同的时期所采用的生产技术发生改变，使生产的前沿边界发生移动。如果生产边界外移，在同样的投入下，产出水平会提高，则为技术进步。但是，如果技术进步变动过快，反而可能会导致由于对于新技术的熟练度不足，而导致效率的降低。因此，在某种意义上讲，技术进步缓慢，效率却可能相对提高。因此，有必要对莫氏指数进行进一步的变形和分解。
通过对莫氏生产率指数变换形式，莫氏生产率指数可以进一步分解为效率变化
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（Efficiency change，EC）和技术变化（Technical change，TC）两部分，而效率变化还可以分解为纯技术效率变化和规模效率变化；对技术变化部分也可作进一步的剖析。
将莫氏生产率指数进行变换形式可以得到下列的等式（6.16）：
tMTFP(Xt?1,Yt?1,Xt,Yt)tt?1?Do(Xt?1,Yt?1|CRS)Do(Xt?1,Yt?1|CRS)?????tt?1D(X,Y|CRS)D(X,Y|CRS)ott?ott?tt?Do(Xt?1,Yt?1|CRS)Do(X,Y|CRS)???t?1?t?1tt?D(X,Y|CRS)D(X,Y|CRS)t?1t?1ott?o??TC(Xt?1,Yt?1,Xt,Yt|CRS)?EC(CRS)1/21/2 （6.16）
t?1?Do(Xt?1,Yt?1|CRS)????tD(X,Y|CRS)ott??其中：
tt?Do(Xt?1,Yt?1|CRS)Do(X,Y|CRS)?TC(Xt?1,Yt?1,Xt,Yt|CRS)??t?1?t?1tt?D(X,Y|CRS)D(X,Y|CRS)t?1t?1ott?o?1/2
（6.17）
t?1Do(Xt?1,Yt?1|CRS) （6.18） EC(CRS)?tDo(Xt,Yt|CRS)其中：TC代表技术变化。若TC（CRS）＞1，表示不同时期存在技术进步（technical progress）；TC（CRS）＜1，则表示不同时期是技术退化（technical regress）。类似地，若EC（CRS）＞1，代表不同时期间效率改善了；EC（CRS）＜1，则代表不同时期间效率变差了。
Malmquist 生产力指数虽是相对于CRS的状况来衡量的，然而，上式EC还可进一步分解为纯技术效率变动指数（Pure technical Efficiency Change, PTEC）和规模效率变动指数（Scale Effiency Change, SEC）。规模效率变动是由于CRS（固定规模报酬）与VRS（可变规模报酬）之间的差异形成的。通过分解从而可以分析可变规模报酬（Variable Returns to Scale, VRS）对效率的影响(F?re, Grosskopf et al. 1994)。其公式如下：
EC(CRS)t?1Do(Xt?1,Yt?1|CRS)?tDo(Xt,Yt|CRS)?D(Xt?1,Yt?1|VRS)??D(Xt?1,Yt?1|CRS)D(Xt,Yt|VRS)????????ttD(X,Y|VRS)D(X,Y|CRS)D(X,Y|VRS)ottottt?1t?1?????PTEC?SEC其中：
t?1ot?1otot?1o （6.19）
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