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数列问题的题型与方法
一．复习目标：
1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n项的和；
3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．
6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
二．考试要求：
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。 三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(an/an?1)为同一常数。 (2)通项公式法：
①若②若
(3)中项公式法：验证
=
+（n-1）d=
+（n-k）d，则?an?为等差数列； ，则?an?为等比数列。
都成立。
3.在等差数列?an?中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当a1?0,d<0时，满足
的项数m使得Sm取最大值.
(2)当a1?0,d>0时，满足的项数m使得Sm取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
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4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
5．注意事项：
⑴证明数列?an?是等差或等比数列常用定义，即通过证明an?1?an?an?an?1或an?1an?anan?1而得。
⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意sn与an之间关系的转化。如：
an=s1,n?1nsn?sn?1,n?2，an=a1??(ak?2k?ak?1)．
⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．
（Ⅱ）范例分析
例1．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn．
(2)过点Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直线12，设l1与l2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{an}的公差d≠0，所以
Kp1pk是常数(k=2，3，?，n)．
(2)直线l2的方程为y-a1=d(x-1)，直线l2的斜率为d．
例2．已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，
⑴设数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列；
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⑵设数列cn?ann2⑶求数列?an?的通项公式及前n项和。
,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列；
分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有Sn?1=4an+2，可由Sn?2-Sn?1作切入点探索解题的途径． 解：(1)由Sn?1=4an?2，Sn?2=4a
n?1+2，两式相减，得Sn?2-Sn?1=4(an?1-an)，即
an?2=4an?1-4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成bn?1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
an?2-2an?1=2(an?1-2an)，又bn=an?1-2an，所以bn?1=2bn ①
已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ② 由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2n?1．
当n≥2时，Sn=4an?1+2=2
n?1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为Sn=2n?1(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn?1?4an?2得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．已知数列{an}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{bn}的通项bn=an?1-kan?2(n∈N)，数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．如果Tn＞kSn对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．
分析：由探寻Tn和Sn的关系入手谋求解题思路。
解：因为{an}是首项a1＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故
an?1=an·q，an?2=an·q2．
所以 bn=an?1-kan?2=an(q-k·q2)． Tn=b1+b2+?+bn=(a1+a2+?+an)(q-k·q2)=Sn(q-kq2)．
依题意，由Tn＞kSn，得Sn(q-kq2)＞kSn， ①对一切自然数n都成立． 当q＞0时，由a1＞0，知an＞0，所以Sn＞0；
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当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-qn＞0，所以Sn=综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，Sn＞0总成立． 由①式可得q-kq2＞k ②，
例4．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估
51计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
14。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，
bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-
）万元??，
第n年投入800×（1－）
n－1
万元
所以总投入an＝800＋800（1－）＋??＋800×（1－）
n－1
＝4000［1－（
）］
n同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋
）万元，??，
第n年收入400×（1＋）
n－1
万元
bn＝400＋400×（1＋）＋??＋400×（1＋）
n－1
＝1600×［（
）－1］
n(2)∴bn－an＞0，1600［（）－1］－4000×［1－（
n）］＞0
n化简得，5×（）＋2×（
n）－7＞0?
n设x＝（），5x－7x＋2＞0?∴x＜
n2
，x＞1（舍)?即（）＜
n，n≥5.?
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知
识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数
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学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解
答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例5．设实数a?0，数列?an?是首项为a，公比为?a的等比数列，记
bn?an1g|an|(n?N),Sn?b1?b2???bn，
*求证：当a??1时，对任意自然数n都有Sn=解：an?a1qn?1?a(?a)n?1?(?1)n?1an。
?bn?anlg|an|?(?1)2n?1alga(1?a)n?12?1?(?1)nn?1(1?n?na)an?
alg|(?1)3nn?1a|?(?1)nnalg|a|
n?1?Sn?alg|a|?2alg|a|?3alg|a|???(?1)n?2(n?1)an?1nlg|a|?(?1)n?1nanlg|a|
?[a?2a?3a???(?1)23n?323n?2(n?1)an?1n?1?(?1)na]lg|a|
nn?1n?1记S?a?2a2?3a3???(?1)n?2(n?1)an?1?(?1)n?1nan①
as?a?2a???(?1)(n?2)an?1n?1?(?1)n?2(n?1)a?(?1)na②
①+②得(1?a)s?a?a2?a3???(?1)n?2an?1?(?1)n?2an?(?1)n?1nan?1③ ?a??1,?(1?a)S?a?(?1)a1?(1?a)?(?1)n?1n?1n?an?1
?S?a?(?1)n?1an?1?(1?a)?(?1)(1?a)2n?1n?1?n?an?1?S??Sn?a?(1?n?na)?(?1)(1?a)alg|a|(1?a)22a?a[1?(1?n?na)(?1)(1?a)n2n?1a]n
[1?(?1)n?1(1?n?na)a]说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定Cn?an?bn,{an}是等差数列，{bn}等比数列。
解法一：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则其通项为
根据等比数列的定义知S5≠0，由此可得
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