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一步加工，有下面的解法)
解法二：
依题意，得
例7．设二次方程anx-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
2(1)试用an表示an?1；
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例8．在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，对一切正整数n，点Pn位于函数y?3x?数列?xn?。
⑴求点Pn的坐标；
⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn2的顶点为Pn，且过点Dn(0,n?1)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：
134的图象上，且Pn的横坐标构成以?52为首项，?1为公差的等差
1k1k2?1k2k3???1kn?1kn。
⑶设S??x|x?2xn,n?N,n?1?,T??y|y?4yn,n?1?，等差数列?an?的任一项
an?S?T，其中a1是S?T中的最大数，?265?a10??125，求?an?的通项公式。
5232解：（1）xn???yn?3?xn?134?(n?1)?(?1)??n?54,?Pn(?n?32
54)
??3n?,?3n?（2）?cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.?设cn的方程为：
y?a(x?2n?32)?212n?54,
222把Dn(0,n?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x?(2n?3)x?n?1。
kn?y|x?0?2n?3，?'1kn?1kn??12[(1(2n?1)(2n?3)15?17)?(17?19?122n?11(1?12n?3?) )]
?1k1k2?1k2k3???1kn?1kn)???(12n?32n?1学科网-精品系列资料 版权所有@学科网
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11111 (?)??252n?3104n?6（3）S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}，
=
T?{y|y??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1}
?S?T?T,T中最大数a1??17.
设{an}公差为d，则a10??17?9d?(?265,?125)，由此得
?2489?d??12,又?an?T?d??12m(m?N),**
?d??24,?an?7?24n(n?N).说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出kn，
解决（3）的关键在于算出S?T及求数列?an?的公差。
例9．数列?an?中，a1?8,a4?2且满足an?2?2an?1?ann?N*
⑴求数列?an?的通项公式；
⑵设Sn?|a1|?|a2|???|an|，求Sn； ⑶设bn=
1n(12?an)(n?N),Tn?b1?b2???bn(n?N)，是否存在最大的整数
***m，使得对任意n?N，均有Tn?m32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理
由。
解：（1）由题意，an?2?an?1?an?1?an，?{an}为等差数列，设公差为d， 由题意得2?8?3d?d??2，?an?8?2(n?1)?10?2n. （2）若10?2n?0则n?5，n?5时,Sn?|a1|?|a2|???|an|
?a1?a2???an?8?10?2n2?n?9n?n,
2n?6时，Sn?a1?a2???a5?a6?a7??an
?S5?(Sn?S5)?2S5?Sn?n?9n?40
2 n?6n?9n?4011111??(?) （3）?bn?n(12?an)2n(n?1)2nn?12故Sn?9n?n2n?5?Tn?12m[(1?12)?(12?*13)?(13?14)???(?m1n?1?1n)?(1n?1n?1)]?n2(n?1).
若Tn?n?116n1m1*?(n?N)的最小值是，??,?m的最大整数值是7。 n?12162m32.
32对任意n?N成立，即
n对任意n?N成立，
**即存在最大整数m?7,使对任意n?N，均有Tn?说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
例10．如图，在y轴的正半轴上依次有点A1,A2,?,An,?其中点
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A1(0,1),A2(0,10)，且|An?1An|?3|AnAn?1|(n?2,3,4,?)，在射线y?x(x?0)上依次
有点B1,B2,?,Bn,?点B1的坐标为（3，3），且|OBn|?|OBn?1|?22(n?2,3,4,?) ⑴用含n的式子表示|AnAn?1|； ⑵用含n的式子表示An,Bn的坐标； ⑶求四边形AnAn?1Bn?1Bn面积的最大值。 解：（1）?|AnAn?1||An?1An|?13,且|A1A2|?10?1?9，
1n?11n?11n?3 ?|AnAn?1|?|A1A2|()?9()?()333（2）由（1）得|A1A2|?|A2A3|???|An?1An|?9?3?1???()n?4?31272?11n?4 ()23?点An的坐标(0,272?11n?4())，?|OBn|?|OBn?1|?22且|OB1|?32 23?{|OBn|}是以32为首项，22为公差的等差数列
?|OBn|?32?(n?1)22?(2n?1)2?Bn的坐标为(2n?1,2n?1)1
（3）连接AnBn?1，设四边形AnAn?1Bn?1Bn的面积为Sn，则
1n?3129271n?12 [()]?(2n?3)??22?[?()]2322232299n3?6n??n?1,?Sn?1?Sn??0,即Sn?1?Sn,?{Sn}单调递减. n?12332947?9??Sn的最大值为S1?. 22Sn?S?AnAn?1Bn?1?S?BnBn?1An?说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知{|AnAn?1|}为等比，{|OBn|}为等差，（3）利用函数单调性求最值。
例11．设正数数列{an}为一等比数列，且a2=4，a4=16．
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说明：试题涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．
例12．已知抛物线x2?4y，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1作斜率为
12的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为
12n14的直线交抛物线于点P3，?，
如此继续，一般地，过点Pn作斜率为的直线交抛物线于点Pn?1，设点Pn(xn,yn)．
（Ⅰ）令bn?x2n?1?x2n?1，求证：数列{bn}是等比数列． （Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn，试比较
34Sn?1与
13n?102的大小．
2解：（1）因为Pn(xn,yn)、Pn?1(xn?1,yn?1)在抛物线上，故xn为直线PnPn?1的斜率为
?4yn,①xn?1?4yn?1②，又因
12n，即
yn?1?ynxn?1?xn12?12，①②代入可得
1x2n?1?x2n4xn?1?xn122n?2?12n?xn?1?xn?n?2?bn?x2n?1?x2n?1?(x2n?1?x2n)?(x2n?x2n?1)
?（2）Sn??n?1242n?3??122n?2，故
bn?1bn142n?14?{bn}是以
n14为公比的等比数列；
43(1?1n)?341Sn?1?2，故只要比较4与3n?10的大小．
方法（一）4?(1?3)?1?Cn?3?Cn?3???1?3n?当n?1时，
nn(n?1)23?1?3n?9?3n?10(n?3)， 34Sn?1?13n?10；
234Sn?1?*13n?10Sn?1?；
当n?2时．
当n?3,n?N时，
3413n?10方法（二）用数学归纳法证明，其中假设n?k(k?3,k?N)时有4则当n?k?1时,4
k?1kk?3k?10,
?4?4?4(3k?10)?[3(k?1)?10]?9k?27?3(k?1)?10.
an)，?
是公差为-1的等差数列，又2a2-a1，2a3-a2，?，2an?1-an，?
(1)求数列{an}的通项公式； (2)计算
(a1+a2+?+an)．
分析：由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{an}的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于an的方程组．
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