学科网(ZXXK.COM)-精品系列资料 上学科网，下精品资料！
解：(1)设bn=log2(3an?1-an)，因为{bn}是等差数列，d=-1．b1=log2
3an?1-an＝2?n ① 设cn=2an?1-an，{cn}是等比数列，公比为q，|q|＜1， c1=2a2-a1=
例14．等比数列{an}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n项和为Sn，自然数b，c，d，e满足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求证：Sb·Se＜Sc·Sd．
分析：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键．
(证明不等式首选方法是差比较法，即作差—变形—判定符号，变形要有利于判定符号．)
be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)．
因为c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是(c-e)(e-d)＜0．又
同理
(要比较Sb·Se与Sc·Sd的大小，只要比较(1-qb)(1-qe)与(1-qc)(1-qd)的大小，仍然运用差比较法．)
(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)．
学科网-精品系列资料
版权所有@学科网
学科网(ZXXK.COM)-精品系列资料 上学科网，下精品资料！
(能否将qc-qb用qe-qd表示是上式化成积的关键，利用给定的c+d=b+e，寻求变形的途
径，c=b+e-d，d、e出现了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)．恒等变形只有目标明确，变形才能有方向．)
上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)．因为q＞0．所以q-d＞0． (运用函数的思想将问题转化为根据指数函数的单调性判别乘积的符号)事实上，由b＜d＜e，q＞0，
①当0＜q＜1时，y=qx是减函数，qe＜qd，qb＞qd，即qe-qd＜0，qb-qd＞0； ②当q＞1时，y=qx是增函数，qe＞qd，qb＜qd，即qe-qd＞0，qb-qd＜0． 所以无论0＜q＜1还是q＞1，都有qe-qd与qb-qd异号，即(qe-qd)(qb-qd)＜0．
综上所述，无论q=1还是q≠1，都有Sb·Se＜Sc·Sd．
说明：复习课的任务在于对知识的深化，对能力的提高、关键在落实．根据上面所研究的问题，进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力．
例15．（北京高考）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，?，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为
. 是等比数列；
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）求
的值.
（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，
则
所以
故
成等比数列.
（Ⅱ）解：因为所以
说明：本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.
例16．（2004年北京春季高考20）下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （） （） （） ?? 7 （） 12 （） （） （） （） （） （） （） ?? ?? a1j a2j a3j ?? ?? ?? 学科网-精品系列资料 版权所有@学科网
学科网(ZXXK.COM)-精品系列资料 上学科网，下精品资料！
（） ?? ai1 （） ?? ai2 （） ?? ai3 （） ?? ai4 （） ?? ai5 ?? ?? ?? a4j ?? ?? ?? ?? ?? aij ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数。 （I）写出a45的值；（II）写出aij的计算公式；
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。 解：（I）a ?4945（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： a?4?3(j?1) 1j第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a?7?5(j?1) 2j??
第i行是首项为4，公差为2的等差数列，因此 ?3(i?1)i?1a?4?3(i?1)?(2i?1)(j?1)ij
?2ij?i?j?i(2j?1)?j（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N ?i(2j??1)j从而21 N??2i(2j?1)?2j?1?(2i?1)(2j?1)即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
，从而N ?k(2l?1)?l?a2N?121?(k?)(2l?1)kl可见N在该等差数阵中。
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
（Ⅲ）、强化训练
1．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，
（ ） A．4∶3B．3∶2C．7∶4D．78∶71 2．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于． （ ）
A．5 B．6C．7 D．8
3．若数列?an?中，a1?3，且an?1?an2(n?N*)，则数列的通项an?． 4．设在等比数列?an?中，a1?an?66,a2?an?1?128,Sn?126,求n及q 5．根据下面各个数列?an?的首项和递推关系，求其通项公式
*⑴a1?1,an?1?an?2n(n?N)
⑵a1?1,an?1?nn?1an(n?N)
*学科网-精品系列资料 版权所有@学科网
学科网(ZXXK.COM)-精品系列资料 上学科网，下精品资料！
⑶a1?1,an?1?12*an?1(n?N)
6．数列?an?的前n项和Sn?1?ran(r为不等于0，1的常数)，求其通项公式an 7．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。 （1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1?求证an?1?425?45an.
310,经过n年绿化总面积为an?1.
（2）至少需要多少年（年取整数，的努力，才能使全县的绿化率达到60%？ lg2?0.3010）
8．（2002年春招试题）已知点的序列（，0），，其中=0，，
A3是线钱A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，?，An是线段
≥3）
的中点，?。
（I）写出与、之间的关系式（
（II）设，计算，，，由此推测数列{}的通项公式，并加以证明。
9．(94年全国理)设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列｛an｝的前三项；?(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；?
(3)令bn=
(n∈N)，求：b1+b2+?+bn-n.
（Ⅳ）、参考答案
1．解：设这两个等差数列分别为{an}和{bn}．
故选择A．
说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an与前2n-1项和S2n-1的内在联系．
2．解：依题意知．数列单调递减，公差d＜0．因为
S3=S11=S3+a4+a5+?+a10+a11
所以 a4+a5+?+a7+a8+?+a10+a11=0 即 a4+a11=?=a7+a8=0， 故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C．
解选择题注意发挥合理推理和估值的作用． 3．解：多次运用迭代，可得an?(an?1)?[(an?2)]?(an?2)22222???(a1)2n?1?32n?1
4．解：?a2?an?1?128,?a1an?128，又a1?an?66，由以上二式得
学科网-精品系列资料
版权所有@学科网
学科网(ZXXK.COM)-精品系列资料 上学科网，下精品资料！
a?2,an?6或4a1?64,an?2；由此得n?6,g?2或
12.
说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。
5．解：（1）?an?1?an?2n，?an?1?an?2n，
?an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?1?2?1?2?2???2?(n?1)?1?n?(n?1)?n?n?1123?2???n?1n?1n2
（2）?an?1an1n?nn?1?an?a1?a2a1?a3a2???anan?1=1?
又解：由题意，(n?1)an?1?nan对一切自然数n成立，?nan?(n?1)an?1???1?a1?1
?an?.
12an?1?an?1?2?12(an?2)?{an?2}是首项为a1?2??1 1n?1（3）?an?1?公比为
12的等比数列，?an?2??1?()21n?1,?an?2?().
2说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。
6．解：由Sn?1?ran可得当n?2时Sn?1?1?ran?1，?Sn?Sn?1?r(an?an?1)，
?an?ran?ran?1，?an(r?1)?ran?1,?r?1,?anan?1?rr?111?r，?r?0，?{an}是公
?an?，
1(r)n?1比为
rr?1的等比数列. 又当n?1时，S1?1?ra1，?a1?1?rr?1。
说明：本例复习由有关Sn与an递推式求an，关键是利用Sn与an的关系进行转化。 7．（1）证明：由已知可得an确定后，an?1表示如下：an?1=an?(1?4%)?(1?an)?16% 即an?1=80%an+16%=（2）解：由an?1==()(a1?54n45an+4425
4545an+
25可得：an?1?=
45（an?45）=（
45）2（an?1?45）=?
45)
14n4314n4314n?1()?，若an?1?.则有?()??.即?() 2555255525两边同时取对数可得?lg2?(n?1)(2lg2?lg5)?(n?1)(3lg2?1)
故有an?1=?故n?lg21?3lg2?1?4，故使得上式成立的最小n?N*为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
8．（I）解：当n≥3时，（II）解：
学科网-精品系列资料 版权所有@学科网