1.已知函数f?x??ln?1?x??ax的图象在x?1处的切线与直线x?2y?1?0平行． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若方程f?x??1?m?3x?在?2,4?上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； 4（Ⅲ）设常数p≥1，数列
求证：an?1≥an． 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）f'(x)??an?满足an?1?an?ln?p?an?（n?N+），a1?lnp．
1111?a， ?f'(1)??a由题意知-a?-?a?1---------3分 x?1222（Ⅱ）由（1）f(x)?ln(1?x)?x,?原方程为4ln(1?x)?x?m， 设g(x)?4ln(1?x))?x，得g'(x)?43?x， ?1?1?x1?x?当3?x?4时g'(x)?0,当2?x?3时，g'(x)?0,g'(3)?0，
g(x)在[2，3]上是增函数，在[3,4]上是减函数。?g(x)max?4ln4?3,又g(2)?4ln3?2,g(4)?4ln5?4.
由于g(2)?g(4)?2ln9e?0?g(2)?g(4). 25?a的取值范围是[4ln5?4,4ln4?3).---------------------------------------------------9分
（Ⅲ）证明：由f(x)?ln(1?x)?x(x?1)有f'(x)?当
x>0
时
，
1?x?1?,f'(0)?0, x?11?xf'(x)?0,当?1?x?0时，f'(x)?0,f(x)在(0,??)上是减 函?f(x)max?0,在(?1,??)上f(x)?0 f(x)在[?1,0)增函数。?ln(1?x)?x又p?an,?p?an?1??1
由an?1?an?ln(p?an)?ln(1?p?1?an),?an?1?an?p?1?an,
即an?1?p?1,当n?2时，an?1-an?ln(p?an)?ln[p?(p?1)]?0,即an?1?an
当n=1时，a2?a1?ln(p?lnp),由lnp?ln(1?(p?1))?p?1
?a2?a1?ln(p?(p?1))?a1,结论成立
?对n?N?,an?1?an ----------------------------------------------14分
2012届高三年级第一次四校联考数学评分标准(理科) 第3页（共4页）
2.已知a为常数，a?R，函数f(x)?x2?ax?lnx，g(x)?ex．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y?f(x)的切线，设切点为P(x0,y0)，求证：x0?1； （Ⅱ）令F(x)?f(x)，若函数F(x)在区间(0,1]上是单调函数，求a的取值范围． g(x)解：（I）f?(x)?2x?a?1（x?0）． x …2分
2x0?ax0?lnx01所以切线的斜率k?2x0?a?， ?x0x02整理得x0?lnx0?1?0.
…4分
显然，x0?1是这个方程的解，又因为y?x2?lnx?1在(0,??)上是增函数， 所以方程x2?lnx?1?0有唯一实数解．故x0?1．
f(x)x?ax?lnx?，F?(x)?g(x)ex2 …6分
?x2?(2?a)x?a?ex（Ⅱ）F(x)?1?lnxx． …8分
设h(x)??x2?(2?a)x?a?111?lnx，则h?(x)??2x?2??2?a． xxx易知h?(x)在(0,1]上是减函数，从而h?(x)?h?(1)?2?a．
…10分
（1）当2?a?0，即a?2时，h?(x)?0，h(x)在区间(0,1)上是增函数． ?h(1)?0，?h(x)?0在(0,1]上恒成立，即F?(x)?0在(0,1]上恒成立． ?F(x)在区间(0,1]上是减函数．
所以，a?2满足题意． …12分
（2）当2?a?0，即a?2时，设函数h?(x)的唯一零点为x0， 则h(x)在(0,x0)上递增，在(x0,1)上递减. 又∵h(1)?0，∴h(x0)?0． 又∵h(e?a)??e?2a?(2?a)e?a?a?ea?lne?a?0， ∴h(x)在(0,1)内有唯一一个零点x?，
当x?(0,x?)时，h(x)?0，当x?(x?,1)时，h(x)?0.
从而F(x)在(0,x?)递减，在(x?,1)递增，与在区间(0,1]上是单调函数矛盾． ∴a?2不合题意．
综合（1）（2）得，a?2．
3.已知函数f(x)?1?lnx． x …15分
1（1）若函数在区间(a,a?)（其中a?0）上存在极值，求实数a的取值范围；
2（2）如果当x?1时，不等式f(x)?2k恒成立，求实数k的取值范围； x?1（3）求证?(n?1)！??(n?1)?en?2(n?N?)．
1?lnxlnx，x?0 ，则f?(x)??， ----------------------------1分 xx当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0．
22．解：（Ⅰ）因为f(x)? 所以f(x)在（0，1）上单调递增；在(1,??)上单调递减，
所以函数f(x)在x?1处取得极大值． ----------------------------------------------------- ---2分
1因为函数f(x)在区间(a,a?)（其中a?0）上存在极值，
2?a?11? 所以?1, 解得?a?1. -----------------------------------------------------------------4分
2a??1??2k（Ⅱ）不等式f(x)?，
x?1即为
(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx)?k, 记g(x)?,
xx所以g?(x)?[(x?1)(1?lnx)]?x?(x?1)(1?lnx)x?lnx?,-----------------------------------------------6分
x2x21令h(x)?x?lnx,则h?(x)?1?，?x?1,?h?(x)?0.
x ?h(x)在[1,??)上单调递增，?[h(x)]min?h(1)?1?0， 从而g?(x)?0
故g(x)在[1,??)上也单调递增，?[g(x)]min?g(1)?2，所以k?2 -------------------------------8分
2x?122（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)?恒成立，即lnx??1??1?,
x?1x?1x?1x(n?1)]?1? 令x?n(n?1)，则ln[n2， --------------------------------------------------------10分
n(n?1) 所以 ln(1?2)?1?ln(2?3)?1?ln(3?4)?1?2, 2?32, 3?42, 1?2???? ??
ln[n(n?1)]?1?2．
n(n?1)
111叠加得：ln[1?22?32??n2?(n?1)]?n?2[] ???
n(n?1)1?22?3 ?n?2(1?分
11)?n?2??n?2---------------------------------------------------------------------12n?1n?1则1?22?32??n2?(n?1)?en?2，
所以?(n?1)！??(n?1)?en?2(n?N?) ---------------------------------------------------------------------------14 4.已知函数f(x)?x?212ax?ln(1?x)，其中a?R. 2（Ⅰ）若x?2是f(x)的极值点，求a的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若f(x)在[0,??)上的最大值是0，求a的取值范围.
21.（理）（本小题满分12分） （Ⅰ）解：f?(x)?x(1?a?ax)1,x?(?1,??). 依题意，令f?(2)?0，解得 a?.
3x?11经检验，a?时，符合题意. ??4分
3x（Ⅱ）解：① 当a?0时，f?(x)?.
x?1故f(x)的单调增区间是(0,??)；单调减区间是(?1,0).
1② 当a?0时，令f?(x)?0，得x1?0，或x2??1.
a当0?a?1时，f(x)与f?(x)的情况如下：
x f?(x) f(x) (?1,x1) ? ↘ x1 (x1,x2) x2 (x2,??) 0 f(x1) ? ↗ 0 f(x2) ? ↘ 11?1)；单调减区间是(?1,0)和(?1,??). aa当a?1时，f(x)的单调减区间是(?1,??).
所以，f(x)的单调增区间是(0,当a?1时，?1?x2?0，f(x)与f?(x)的情况如下：
x (?1,x2) ? ↘ x2 (x2,x1) x1 (x1,??) f?(x) f(x) 0 f(x2) ? ↗ 0 f(x1) ? ↘ 1?1)和(0,??). a③ 当a?0时，f(x)的单调增区间是(0,??)；单调减区间是(?1,0). 综上，当a?0时，f(x)的增区间是(0,??)，减区间是(?1,0)；
所以，f(x)的单调增区间是(?1,0)；单调减区间是(?1,1a11?1)，减区间是(?1,0)和(?1,??)； aa当a?1时，f(x)的减区间是(?1,??)；
11当a?1时，f(x)的增区间是(?1,0)；减区间是(?1,?1)和(0,??).
aa当0?a?1时，f(x)的增区间是(0, ??10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a?0时，f(x)在(0,??)上单调递增，由f(0)?0，知不合题意. 当0?a?1时，f(x)在(0,??)的最大值是f(?1)，
1a1a当a?1时，f(x)在(0,??)单调递减，
可得f(x)在[0,??)上的最大值是f(0)?0，符合题意.
所以，f(x)在[0,??)上的最大值是0时，a的取值范围是[1,??). ????12分
由f(?1)?f(0)?0，知不合题意.
x35. 已知函数f(x)?ln(2ax?1)??x2?2ax(a?R).
3 （1）若x?2为f(x)的极值点，求实数a的值；
（2）若y?f(x)在[3,??)上为增函数，求实数a的取值范围；
1(1?x)3b?有实根，求实数b的最大值。 （3）当a??时,方程f(1?x)?23x22?x2ax?(1?4a)x?(4a?2)?2a??????12?x?2x?2a?22．解：（1）f'(x)?2ax?12ax?1分
因为x?2为f(x)的极值点，所以f'(2)?0 即
2a?2a?0，解得a?0，又当a?0时，f'(x)?x(x?2)，从而x?2为f(x)4a?1为
的极值点成立。????2分 （2）因
f(x)在区间
?3,???上为增函数，所以
f'(x)?22x?2ax?(1?4a)x?(4a?2)???2ax?1?0在区间?3,???上恒成立。????3分
①当a?0时，f'(x)?x(x?2)?0在区间?3,???上恒成立，f(x)在区间?3,???上为增函数，符合题意。????4分
②当a?0时，由函数f(x)的定义域可知，必有2ax?1?0对x?3成立，