12a（0?x?3） ax?bx?，
2x1其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
22(3)当a?0，b??1，方程2mf(x)?x有唯一实数解，求正数m的值． 21.（本小题满分12分）解: （1）依题意，知f(x)的定义域为（0，+∞），
111当a?b?时，f(x)?lnx?x2?x，
242111?(x?2)(x?1)?????2分 f'(x)??x??x222x令f'(x)=0，解得x?1．（∵x?0）
因为g(x)?0有唯一解，所以g(x2)?0，当0?x?1时，f'(x)?0，此时f(x)单递增；
当x?1时，f'(x)?0，此时f(x)单调递减。
3所以f(x)的极大值为f(1)??，此即为最大值 ?????4分
4x?a1a(2）F(x)?lnx?，x?(0,3]，则有k?F'(x0)?02≤，在x0?(0,3]上恒成立，
2xx012所以a≥(?x0?x0)max，x0?(0,3]
21211当x0?1时，?x0?x0取得最大值，所以a≥???8分
2222(3)因为方程2mf(x)?x有唯一实数解，
(2)令F(x)?f(x)?所以x?2mlnx?2mx?0有唯一实数解， 设g(x)?x?2mlnx?2mx，
222x2?2mx?2m2则g'(x)?．令g'(x)?0，x?mx?m?0．
xm?m2?4mm?m2?4m?0（舍去）因为m?0，x?0，所以x1?，x2?，
22当x?(0,x2)时，g'(x)?0，g(x)在（0，x2）上单调递减， 当x?(x2,??)时，g'(x)?0，g(x)在（x2，+∞）单调递增 当x?x2时，g'(x2)=0，g(x)取最小值g(x2)．
2?g(x2)?0,??x2?2mlnx2?2mx2?0,则?既?2?????10分
g'(x)?0,?2??x2?mx2?m?0.所以2mlnx2?mx2?m?0，因为m?0，所以2lnx2?x2?1?0（*） 设函数h(x)?2lnx?x?1，因为当x?0时， h(x)是增函数，所以h(x)?0至多有一解．
m?m2?4m1?1，解得m??12分 因为h(1)?0，所以方程（*）的解为x2?1，即
229.已知函数f(x)?12x?(a?3)x?lnx. 2（Ⅰ）若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）方程f(x)?(?a)x2?(a?2)x?2lnx有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （Ⅲ）在函数f(x)的图象上是否存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB的中点的横坐标为x0，有f(x0)?/'12y1?y2成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．
x1?x2解（Ⅰ）f(x)?x?a?3?1(x?0). 1分 x/若函数f(x)在(0,??)上递增，则f(x)?0对x?0恒成立，即a??(x?)?3对x?0恒成立，而当x?0时，?(x?)?3??2?3?1.?a?1. 若函数f(x)在(0,??)上递减，则f(x)?0对x?0恒成立，即a??(x?)?3对x?0恒成立，这是不可能的．
综上，a?1. a的最小值为1． 4分 （Ⅱ）解1、由f(x)?(a?)x?(a?2)x?lnx?ax?x?a?/1x1x1x1222lnx?x 2x?1?2??1?x?2x?lnx?x?1?x?2lnxlnx?x?x?令r?x?? ?r'x????x2x4x3得1?x?2lnx=0的根为1，所以
当0?x?1时，r'?x??0，则r?x?单调递增，当x?1时，r'?x??0，则r?x?单调递减， 所以r?x?在x?1处取到最大值r?1??1，又x?0时r?x??0 ，又x???时r?x??0， 所以要使
y?lnx?xx2与
y?a有两个不同的交点，则有
0?a?1 ?????8分
（Ⅲ）假设存在，不妨设0?x1?x2.
1212x1?(a?3)x1?lnx1?x2?(a?3)x2?lnx2f(x1)?f(x2)22k??x1?x2x1?x2x1x2?x0?(a?3)?. 9分
x1?x2lnf/(x0)?x0?(a?3)?1. x0xxx121?2ln1xxx22x21/若k?f(x0),则，即ln1?2． （*） 12??，即
x1x2x1?x2x1?x2x1?x2x0?1x2ln分
令t?x12t?2，u(t)?lnt?（0?t?1)， x2t?1(t?1)2则u?(t)?＞0．∴u(t)在0?t?1上增函数， ∴u(t)?u(1)?0，
t(t?1)2∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k?f(x0).
因此，满足条件的x0不存在． 15分 10.已知函数f(x)?xlnx.（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和最小值；
/1b（Ⅱ）当b?0时,求证:b?()e（其中e=2.718 28?是自然对数的底数）；（Ⅲ）若
e1a?0,b?0,证明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).
?122．解：（Ⅰ）?f?(x)?lnx?1(x?0),令f?(x)?0,即lnx??1?lne.???1分
1?x?[,??).
e1 同理，令f?(x)?0可得x(0,].
e11 ∴f(x)单调递增区间为[,??)，单调递减区间为(0,].????????3分
ee11 由此可知y?f(x)min?f()??.????????????????4分
ee11 （Ⅱ）由（I）可知当b?0时，有f(b)?f(x)min??,?blnb??，
ee
1?x?e?1?.e111即ln(b)???ln()e.
eeb
11?b?()e.??????????????????????????8分
eb
ex11.设f(x)?，其中a?0．
1?ax2（1）当a?4时，求f(x)的极值点； 3（2）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
1?ax2?2ax19．对f(x)求导得f?(x)?e 22(1?ax)x①
（1）当a?431时，若f?(x)?0，则4x2?8x?3?0，解得x1?,x2? 3221(??,)
2+ ↗
结合①，可知 x
1 20 极大值
13(,) 22_ ↘
3 20 极小值
3(,??) 2+ ↗
f?(x) f(x)
所以，x1?31是极小值点，x2?是极大值点．------------------6分 22（2）若f(x)为R上的单调函数，则f?(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知
ax2?2ax?1?0在R上恒成立，因此??4a2?4a?4a(a?1)?0，
由此并结合a>0，知0?a?1．-----------------12分
2212.已知函数f(x)?x?8lnx, g(x)??x?14x (1) 求函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2) 若函数f(x)与g(x)在区间(a, a?1)上均为增函数, 求a的取值范围; (3) 若方程f(x)?g(x)?m有唯一解, 试求实数m的值. 20、(1) 因为f?(x)?2x?8, 所以切线的斜率k?f?(1)??6??????2分 x又f(1)?1,故所求切线方程为y?1??6(x?1)?y??6x?7.??????4分 (2) 因为f?(x)?2(x?2)(x?2), 又x?0,
x所以当x?2时, f?(x)?0; 当0?x?2时,
f?(x)?0. 即f(x)在(2, ??)上递增, 在(0, 2)上递减
又g(x)??(x?7)?49, 所以g(x)在(??, 7)上递增, 在(7, ??)上递减
2?a?2欲f(x)与g(x)在区间(a, a?1)上均为增函数, 则?, 解得2?a?6??10分
a?1?7?2(3) 原方程等价于2x?8lnx?14x?m, 令h(x)?2x?8lnx?14x,
2则原方程即为h(x)?m. 因为当x?0时原方程有唯一解,
所以函数y?h(x)与y?m的图象在y轴右侧有唯一的交点, ??????12分 又h?(x)?4x?82(x?4)(2x?1), 且x?0, ?14?xx所以当x?4时, h?(x)?0; 当0?x?4时, h?(x)?0.
即h(x)在(4, ??)上递增, 在(0, 4)上递减. 故h(x)在x?4处取得最小值, ??15分 从而当x?0时原方程有唯一解的充要条件是m?h(4)??16ln2?24.????16分 ln(－x)
13.已知f (x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e,0)，g(x)＝－x，其中e是自然常数，a∈R． （1）讨论a＝－1时, f (x)的单调性、极值； 1
（2）求证：在（1）的条件下，|f (x)|＞g(x)＋2；
（3）是否存在实数a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．