即b?11?2x对x∈(0，＋∞)恒成立，只需b?(?2x)min． ????2分 xx21时取“＝”， ?2x?22，当且仅当x?2x∵x＞0，∴
∴b?22，∴b的取值范围为(??,22]． ??????4分 （2）当a＝1，b＝－1时，f(x)＝lnx－x＋x，其定义域是(0，＋∞)，
2
12x2?x?1(x?1)(2x?1)∴f?(x)??2x?1??． ??xxx∵x＞0，∴当0＜x＜1时，f ′(x)＞0；当x＞1时，f ′(x)＜0．
∴函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减．????6分
2
∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)＝ln1－1＋1＝0；
当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0，∴函数f(x)只有一个零点．????8分
?f(x1)?lnx1?ax12?bx1?0?lnx1?ax12?bx1????（3）由已知得?， 22???f(x2)?lnx2?ax2?bx2?0?lnx1?ax1?bx1两式相减，得lnx1?a(x1?x2)(x1?x2)?b(x1?x2) x2?lnx1?(x1?x2)[a(x1?x2)?b]．????10分 x2由f?(x)?1?2ax?b及2x0＝x1＋x2，得 xf?(x0)?x1221?2ax0?b??[a(x1?x2)?b]??ln1 x0x1?x2x1?x2x1?x2x22(x1?1)2(x?x2)xx2x11?[1?ln1]?[?ln1] x1?x2x1?x2x2x1?x2x1x2(?1)x2令t?x12t?2,?(t)??lnt(0?t?1)． x2t?1(t?1)2?0，∴φ(t)在(0，1)上递减，∴φ(t)＞φ(1)＝0． ∵??(t)??t(t?1)2∵x1＜x2，∴f ′(x0)＜0． ????13分
b22.设函数f(x)?2ax??Lnx
x（1）若f(x)在x?1,x?1处取得极值, 2 ①求a、b的值；
1 ②存在x0?[,2]，使得不等式f(x0)?c?0成立，求c的最小值；
4（2）当b?a时，若f(x)在(0,??)上是单调函数，求a的取值范围。 （参考数据e?7.389,e?20.08) 22.解析：（理）（Ⅰ）( i )?f(x)?2ax? ?f'(x)?2a?23b?1nx，定义域为(0,??) xb1?。 ?????????1分 2xx11 ?f(x)在x?1,x?处取得极值， ?f'(1)?0,f'()?0??2分
221?a????2a?b?1?011?3解得? 即? ?所求a、b的值分别为-,? ??4分
33?2a?4b?2?0?b??1?3?1 （ii）在[,2]存在xo,使得不等式f(xo)?c?0成立，只需c?[f(x)]min，
42x2?3x?1211(2x?1)(x?1) 由f'(x)??x?2???， ??3x233xx3x21111 ?当x?[,]时，f'(x)?0,故f(x)在[,]是单调递减；
424211 当x?[,1]时，f'(x)?0，故f(x)在[,1]是单调递增;
22 当x?[1,时，; 2]fx'?()，故0f(x)在[1,是单调递减2]11 ?f()是f(x)在[,2]上的极小值. ?????????6分
2411117 而f()??1n??1n，2f(2)???n1，2
23236331332 且f()?f(2)??1n4?1ne2?1n4, 又e?16?0?,n1e?n14? 0 2272 )?c??f(x)?min???ln2 ?[f(x)m]in?f(，
677 ?c的取值范围为[??1n2,??),所以c的最小值为??1n2. ??????9
66分
2ax2?x?a时，f'(x)? （Ⅱ）当a?b，
x2x.f(在x)(?0?上单调递增,) ①当a?0时，f(x)?1m则；
②当a?0时，
2?x?0,?2ax?x?a??0f'(x)?，则 0f(x在)(0,+?上单调递增；) ③当a?0时，设g(x)?2ax?2x?只需a,?0?，
2,此时f(x)在(0??)上单调递减; 42 综上得，a的取值范围是（??. ???12分 ，?]?[，0+?）4 从面得a??
23.已知函数f(x)?(x?3x?3)?e定义域为??2,t?(t??2),设f(?2)?m,f(t)?n.
2x（1）试确定t的取值范围,使得函数f(x)在??2,t?上为单调函数； （2）求证:n?m；
f'(x0)22?(t?1)x0x?(?2,t)3（3）求证:对于任意的t??2,总存在0,满足e,并确定这样的 x0 的个数
2xxx?f(x)?(x?3x?3)?e?(2x?3)?e?x(x?1)?e20、解: (Ⅰ)因为??????2分
??由f(x)?0?x?1或x?0；由f(x)?0?0?x?1,所以f(x)在(??,0),(1,??)上递
增,在(0,1)上递减 ,欲f(x)在??2,t?上为单调函数,则?2?t?0 ????4分 (Ⅱ)证明:因为f(x)在(??,0),(1,??)上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x?1处取得极小值e ???????????6分
f(?2)? 又
13?e2??2,???上的最小值为f(?2) e,所以f(x)在
从而当t??2时,f(?2)?f(t),即m?n ?????????????????9分
f'(x0)2f'(x0)22222?(t?1)?x?xx?x?(t?1)0000x0x033（Ⅲ）证:因为e, e 即为,
22g(x)?x2?x?(t?1)2g(x)?x2?x?(t?1)233 令,从而问题转化为证明方程=0
在(?2,t)上有解,并讨论解的个数 ????????????????11分
2221g(?2)?6?(t?1)2??(t?2)(t?4)g(t)?t(t?1)?(t?1)2?(t?2)(t?1)3333 因,,
所以 ①当t?4或?2?t?1时,g(?2)?g(t)?0,
所以g(x)?0在(?2,t)上有解,且只有一解 ????????????13分
2g(0)??(t?1)2?03②当1?t?4时,g(?2)?0且g(t)?0,但由于,
所以g(x)?0在(?2,t)上有解,且有两解 ???????????????14分 ③当t?1时,g(x)?x?x?0?x?0或x?1,所以g(x)?0在(?2,t)上有仅有一解；
2g(x)?x?x?6?0?x??2或x?3, t?4当时,
2所以g(x)?0在(?2,4)上也有且只有一解 ????????????15分
f'(x0)22?(t?1)x0x?(?2,t)3综上所述, 对于任意的t??2,总存在0,满足e,
且当t?4或?2?t?1时,有唯一的当1?t?4时,有两个24. 已知函数?(x)?x0适合题意；
x0适合题意 ??????????16分
a，a为正常数． x?19（1）若f(x)?lnx??(x)，且a?，求函数f(x)的单调增区间；
2（2） 若g(x)?|lnx|??(x)，且对任意x1,x2?(0,2]，x1?x2，都有
g(x2)?g(x1)??1，求a的的取值范围．
x2?x11ax2?(2?a)x?1?21．解：（1） f'(x)??， -------------------------------------2分
x(x?1)2x(x?1)2
91，令f'(x)?0，得x?2，或x?，------------------------------------3分 221∴函数f(x)的单调增区间为(0,)， (2,??)． -----------------------------4分
2∵a?（2）∵
g(x2)?g(x1)g(x2)?g(x1)??1，∴?1?0，
x2?x1x2?x1∴
g(x2)?x2?[g(x1)?x1]?0，--------------------------------------------------5分
x2?x1设h(x)?g(x)?x，依题意，h(x)在?0,2?上是减函数． 当1?x?2时， h(x)?lnx?1aa?1， ?x，h'(x)??x(x?1)2x?1(x?1)21令h'(x)?0，得：a??(x?1)2?x2?3x??3对x?[1,2]恒成立，
xx11?3，则m'(x)?2x?3?2， xx1∵1?x?2，∴m'(x)?2x?3?2?0，
x设m(x)?x2?3x?∴m(x)在[1,2]上是增函数，则当x?2时，m(x)有最大值为∴a?27， 227．------------------------------------------------------------------------------------9分 21aa?1， ?x，h'(x)???x(x?1)2x?1当0?x?1时， h(x)??lnx?(x?1)21令h'(x)?0，得： a???(x?1)2?x2?x??1，
xx
设t(x)?x?x?211?1，则t'(x)?2x?1?2?0， xx∴t(x)在(0,1)上是增函数，∴t(x)?t(1)?0， ∴a?0，综上所述，a?27------------------------------------------------------------13分 21?x25.已知函数f(x)=ax?lnx?1(a?R)，g(x)?xe. (Ⅰ)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域；
（Ⅱ）是否存在实数a，对任意给定的x0?(0,e]，在区间[1,e]上都存在两个不
同的xi(i?1,2)，使得f(xi)?g(x0)成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）给出如下定义：对于函数y?F(x)图象上任意不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，如果对于函数y?F(x)图象上的点M(x0,y0)（其中
x1?x2)总能使得F(x1)?F(x2)?F?(x0)(x1?x2)成立，则称函数具备性质2“L”，试判断函数f(x)是不是具备性质“L”，并说明理由.
1?x1?x1?x21. 解：(Ⅰ)?g?(x)?e?xe?e(1?x) ?g(x)在区间(0,1]上单调递增，x0?在区间[1,e)上单调递减,且g(0)?0,g(1)?1,g(e)?e2?e?0 ?g(x) 的值域为(0,1] ??????3分
（Ⅱ）令m?g(x)，则由(Ⅰ)可得m?(0,1]，原问题等价于：对任意的
故f(x)在[1,e]不可能是单调函m?(0,1]f(x)?m在[1,e]上总有两个不同的实根，
数 ???????5分
111?f?(x)?a?(1?x?e) ?[,1]
xxe1当a?0时, f?(x)?a??0, ?f(x)在区间[1,e]上递减，不合题意
x