故只能a?0????5分
故2ax?(1?4a)x?(4a?2)?0对x?3恒成立 令g(x)?2ax?(1?4a)x?(4a?2)，其对称轴为x?1?22221?1 4a从而要使g(x)?0对x?3恒成立，只要g(3)?0即可????6分
?g(3)??4a2?6a?1?0 解得：3?133?13?a? 44?a?0，故0?a?3?13 4综上所述，实数a的取值范围为?0,?3?13??????7分 4??(1?x)3b1b+可化为，lnx?(1?x)2?(1?x)?．（3）若a??时，方程f(1?x)? 3x2x问题转化为b?xlnx?x(1?x)?x(1?x)?xlnx?x?x在?0,???上有解，
223即求函数g(x)?xlnx?x?x的值域．????????????8分 以下给出两种求函数g?x?值域的方法：
解法一：g(x)?xlnx?x?x?x(lnx?x?x)，令h(x)?lnx?x?x(x?0) 则h'(x)?2322231(2x?1)(1?x)????9分 ?1?2x?xx所以当0?x?1时，h'(x)?0，从而h(x)在(0,1)上为增函数 当x?1时，h'(x)?0，从而h(x)上为减函数 因此h(x)?h(1)?0????10分 而x?0，故b?x?h(x)?0????11分 因此当x?1时，b取得最大值0????12分
解法二：因为g(x)?x(lnx?x?x)，所以g'(x)?lnx?1?2x?3x
2216x2?2x?1设p(x)?lnx?1?2x?3x，则p'(x)??2?6x??????9分
xx2当0?x??1?7?1?7时，p'(x)?0，所以p(x)在?0,上单调递增 ???66??当x??1?7?1?7时，p'(x)?0，所以p(x)在?上单调递减 ,????6?6???1?7?23?1?，又p?2???2?1?2?4?0??6?ee?e???3??e4?0???
因为p(1)?0，故必有p?10分
?11?7?因此必存在实数x0??2,使得g'(x0)?0 ??e?6??当0?x?x0时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,x0)上单调递减； 当x0?x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(x0,1)上单调递增
当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(1,??)上单调递减????11分 又因为g(x)?xlnx?x?x?x(lnx?x?x)?x(lnx?)
232141?0，则g(x)?0，又g(1)?0 4因此当x?1时，b取得最大值0????12分
1?a6.已知函数f(x)?lnx?ax??1(a?R).
x?1(Ⅰ)当a?时，讨论f(x)的单调性；
2当x?0时，lnx?（Ⅱ）当a?0时，对于任意的n?N?,且n?2，证明：不等式
111132n?1 ???????f(2)f(3)f(4)f(n)42n(n?1)11?a?ax2?x?a?121．解析（I）原函数的定义域为(0,??)，因为f'(x)??a?2? 2xxx当a?0时，f'(x)?x?1x?1,令f'(x)??0得x???所以此时函数f(x)在(1,??)上是增22xx函数，在(0,1)上是减函数；
?ax2?x?a?112??得?ax?x?1?a??当a?0时，令f'(x)?，解得x?1或x??1x2a（舍去），此时函数f(x)在(1,??)上增函数，在(0,1)上是减函数；
?ax2?x?a?1112当0?a?时，令f'(x)?，解得??得?ax?x?1?a??1?x??1 2x2211?1)上是增函数，在(0,1)和(?1,??)上是减函数 ???6分 aa1（II）由（I）知：a?0时，f(x)?Lnx??1在(1,??)上是增函数，
x此时函数f(x)在(1,?x?1时f(x)?f(x)?0
设g(x)?f(x)?(x2?1)?Lnx?1?x2(x?1) x11?2x3?x?1?(x?1)(2x3?2x?1)则g'(x)??2?2x? ?22xxxx单调递减 ,x(?2x2?2x?1?0恒成立 ?x?1时，g'(x)?0g?x?1时，g(x)?g(1)?0,即f(x)?x2?1
又f(x)?0,?111111?2??(?) f(x)x?1(x?1)(x?1)2x?1x?1?111111111111??????(1?????????) f(2)f(3)f(4)f(n)232435n?1n?1111132n?1 ?(1???)??22nn?142n(n?1)?不等式得证 ?????????????12分
7.已知函数f(x)?ax?1?lnx(a?R)．
（Ⅰ）讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f(x)在x?1处取得极值，对?x?(0,??),f(x)?bx?2恒成立， 求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0?x?y?e且x?e时，试比较
21．解：（Ⅰ）f?(x)?a?1ax?1，当a?0时，f?(x)?0在(0,??)上恒成立，函数f(x) ?xx在(0,??)单调递减，∴f(x)在(0,??)上没有极值点；
2y1?lny的大小． 与x1?lnx当a?0时，f?(x)?0得0?x?11，f?(x)?0得x?，
aa∴f(x)在(0,)上递减，在(,??)上递增，即f(x)在x?∴当a?0时f(x)在(0,??)上没有极值点，
1a1a1处有极小值． a当a?0时，f(x)在(0,??)上有一个极值点． ································································· 3分 （Ⅱ）∵函数f(x)在x?1处取得极值，∴a?1， ∴f(x)?bx?2?1?令g(x)?1?1lnx················································································· 5分 ??b， ·
xx1lnx，可得g(x)在0,e2上递减，在e2,??上递增， ?xx????∴g(x)min?g(e2)?1?（Ⅲ）证明：ex?y1e2，即b?1?1． ······································································ 7分 2eln(x?1)exey???， ············································· 8分 ln(y?1)ln(x?1)ln(y?1)ex令g(x)?，则只要证明g(x)在(e?1,??)上单调递增，
ln(x?1)1??ex?ln(x?1)?x?1???，
又∵g?(x)?ln2(x?1)显然函数h(x)?ln(x?1)?∴h(x)?1?1在(e?1,??)上单调递增． ···································· 10分 x?11?0，即g?(x)?0， eexey?∴g(x)在(e?1,??)上单调递增，即，
ln(x?1)ln(y?1)∴当x?y?e?1时，有ex?y?ln(x?1)． ································································ 12分
ln(y?1)8. 设函数f(x)?lnx?ax,(a?R)
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）当lnx?ax(0,??)上恒成立时，求a的取值范围； （3）证明：(1?)?e(n?N?).
1nn
8.设函数f(x)?lnx? (1)当a?b?12ax?bx. 21时，求函数f(x)的最大值； 2