y=sinx-4?-7?-3?2-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1y-?-2?-3?2-?2o3?2?2?2?5?23?7?24?x
y=cosx-4?-7?2-5?-3?21-1o?2?3?22?5?23?7?24?x
yyy=tanxy=cotx-3?2-?-?2o?2?3?2x-?-?2o?2?3?22?x
2三角函数的单调区间：
????2k???(k?Z)， y?sinx的递增区间是?2k??，22??递减区间是?2k?????2，2k??3??(k?Z)； 2??2k??(k?Z)， y?cosx的递增区间是?2k???，2k????(k?Z)， 递减区间是?2k?，????y?tgx的递增区间是?k??，k???(k?Z)，
22??y?ctgx的递减区间是?k?，k????(k?Z) （其中A?0，??0）3函数y?Asin(?x??)?B
最大值是A?B，最小值是B?A，周期是T?2??，频率是f??，相位是?x??，初相是2??；其图象的对称轴是直线?x???k??的对称中心
?2(k?Z)，凡是该图象与直线y?B的交点都是该图象
4由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能
灵活进行图象变换 21
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(?＞0)或向右(?＜0)平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋?)的图象 ?途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的平移
1?倍(ω＞0),再沿x轴向左(?＞0)或向右(?＜0＝
|?|?个单位，便得y＝sin(ωx＋?)的图象 5 由y＝Asin(ωx＋?)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置 ．．
?，0）作为突破?6对称轴与对称中心：
y?sinx的对称轴为x?k???2，对称中心为(k?,0) k?Z；
y?cosx的对称轴为x?k?，对称中心为(k???2,0)；
对于y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、?的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8 求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“y?Asin(?x??)、y?Acos(?x??)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法 9五点法作y=Asin（ωx+?）的简图：
五点取法是设x=ωx+?，由x取0、
π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图 22三角函数的最值及综合应用——知识点归纳
1y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y=
a2?b2sin（x+?）
2y=asin2x+bsinx+c型 常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：
3y=
asinx?b型 ccosx?d（1）当x?R时，将分母与y乘转化变形为sin（x+?）＝f(y)型
22
（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R时，必须这样作）
4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：
同一问题中出现sinx?cosx,sinx?cosx,sinx?cosx，求它们的范围，一般是令sinx?cosx?t或
t2?1t2?1或sinx?cosx??，转化为关于t的二次函数来解决 sinx?cosx?t?sinx?cosx?225．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：
如已知tanx?2，求sin2x?2sinx?cosx?cos2x?422的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1
用sinx?cosx代换，然后分子分母同时除以cosx化为关于tanx的表达式 26．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
???1±sin α 可化为1?cos????，再用升次公式；
?2?????或1?sin???sin?cos? 22??2asin??bcos??a2?b2sin?????（其中 tan??b）这一公式应用广泛，熟练掌握． a7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的．
8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；
应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图． 9三角函数的奇偶性
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数???k??k?Z?． ② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数???k??③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数???k??④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数???k?10正切函数的单调性
?2?k?Z?． ?k?Z?．
?2?k?Z?．
正切函数f (x) = tan x，x?k???2????k?Z? ，在每一个区间?k??，k?????k?Z?上
?22?23
都是增函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数．
第五章平面向量
平面向量的基本运算——知识点归纳
1向量的概念：
???①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c??来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表
??????????示，如：AB几何表示法 AB，a；坐标表示法a?xi?yj?(x,y) 向量的大小即向量的模（长度），
?????记作|AB|即向量的大小，记作｜a｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
?????②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0?｜a｜＝0 由
??于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有
“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a0为单位向量?｜a0｜＝1?
??④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同??或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以
平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量? 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
??⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a?b大小相等，方向相?x1?x2?同?(x1,y1)?(x2,y2) ?y?y2?12向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法 ????????????????????????设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC ?????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条
24
对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
????????????????????????AB?BC?CD???PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 ??记作?a,零向量的相反向量仍是零向量
????????关于相反向量有： （i）?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0；
?????????(iii)若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0 ????②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， ????记作：a?b?a?(?b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法
??????③作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点） 4实数与向量的积：
①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
????（Ⅰ）?a???a；
（Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的方向与a的方向相反；当??0时，
???????a?0，方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：
????向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a
6平面向量的基本定理：
如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ????????7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算 25