已知直线l1、l2的方程为l1：A1x?B1y?C1?0，
l2：A2x?B2y?C2?0(A1B1C1?0,A2B2C2?0)
l1∥l2的充要条件是
A1B1C1 ??A2B2C2王新敞?两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是
k1k2??1．
已知直线l1和l2的一般式方程为l1：A1x?B1y?C1?0，
l2：A2x?B2y?C2?0，则l1?l2?A1A2?B1B2?0．
3直线l1到l2的角的定义及公式：
直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角 l1到l2的角?：0°＜?＜180°，
如果1?k1k2?0,即k1k2??1,则??4．直线l1与l2的夹角定义及公式:
?2.如果1?k1k2?0，tan??k2?k1 1?k2k1王新敞l1到l2的角是?1, l2到l1的角是π-?1,当l1与l2相交但不垂直时, ?1和π-?1仅有一个角是锐角,
我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线l1⊥l2时,直线l1与l2的夹角是?夹角?：0°＜?≤90° 2王新敞如果1?k1k2?0,即k1k2??1,则??5．两条直线是否相交的判断
?2.如果1?k1k2?0，tan??k2?k1 1?k2k1王新敞两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
?A1x?B1y?C1?0是否有惟一解 ?Ax?By?C?0?222王新敞6．点到直线距离公式：
点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：
d?Ax0?By0?CA?B22
7．两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，
36
l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?C1?C2A?B22 王新敞8 直线系方程:若两条直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0有交点，则过l1与l2交点的
直线系方程为(A1x?B1y?C1)＋?(A2x?B2y?C2)?0或(A2x?B2y?C2)+?(A1x?B1y?C1)?0 (λ为常数)
简单的线性规划及实际应用——知识点归纳
1二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）
B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数 当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域 2线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题
线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量x、y； （2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；
（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案 曲线和方程——知识点归纳 1．平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质
王新敞37
2．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)?0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） 王新敞(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 王新敞那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 王新敞
3．定义的理解：
设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x，y)，
0
0
则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：
(1)M∈P?(x0，y0)∈Q，即P?Q；(2)(x0，y0)∈Q?M∈P，即Q?P．
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
(1)(x0，y0)?Q?M?P；(2)M?P?(x0，y0)?Q．
显然，当且仅当P?Q且Q?P，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0
为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．
在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 王新敞4求简单的曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)?0; （4）化方程f(x,y)?0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
王新敞上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程． 5由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；
38
②求截距：
?f(x，y)?0方程组?的解是曲线与x轴交点的坐标；y?0? ?f(x，y)?0方程组?的解是曲线与y轴交点的坐标；x?0?
③讨论曲线的范围； ④列表、描点、画线．
6．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
7．曲线系方程：过两曲线f(x，y)=0和f(x，y)=0的交点的曲线系方程是f(x，y)＋λf(x，y)=0(λ∈
1
2
1
2
R)．
求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法 一个点的运动是受某些因素影响的所以求轨迹问题时，我们经常要分析作图过程，顺藤摸瓜，从中找出影响动点的因素最后确定一个或几个因素作为基本量，找出它们和动点坐标的关系，列出方程这就是参数法
圆的方程——知识点归纳 1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2圆的标准方程
圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为(x?a)?(y?b)?r
222方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆
3圆的一般方程
二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得
D2E2D2?E2?4F（x+）+（y+）= 422把方程x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
2222其中，半径是r?D2?E2?4FE??D??叫做圆的一般方程 ，圆心坐标是??，22??2（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数相等且不为零 没有xy项 （2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－
DE，－）； 22当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形 （3）根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程 39
4圆的参数方程
①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程是：
?x?rcos???y?rsin?(?是参数)
②圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程是：
?x?a?rcos???y?b?rsin?(?是参数)
在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程
5二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件
若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分 在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+仅当D2+E2－4AF＞0时表示圆 DEFx+y+=0， AAA故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是： ①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0
6 线段AB为直径的圆的方程： 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则以线段AB为直径的圆的方程是
(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0
7经过两个圆交点的圆系方程：经过x?y?D1x?E1y?F1?0，x?y?D2x?E2y?F2?0的交
2222点的圆系方程是：
x2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0 在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程 8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线l：Ax?By?C?0与圆x?y?Dx?Ey?F?0的交
22点的圆系方程是：
x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0
9确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程： (x?a)?(y?b)?r， (a,b)??圆心，r??半径 222 （2）一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0，（D?E?4F?0)
222240