（1）如积xy?P(定值），则积x?y有最小值2P
2（2）如积x?y?S(定值），则积xy有最大值（）
S2即:积定和最小，和定积最大 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 3 均值不等式:
a?b?ab 2a?b?c3三个正数的均值不等是：?abc
3两个正数的均值不等式：n个正数的均值不等式：
a1?a2???ann?a1a2?an
n4四种均值的关系：两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
a?b?ab??112?ab不等式的证明——知识点归纳
2a2?b2 2不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：A?B?0?A?B 作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差 ②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和 ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果
（3）分析法：执果索因基本步骤：要证??只需证??，只需证??
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件 ②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
（4）反证法：正难则反 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有：
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①添加或舍去一些项，如：a?1?a；n(n?1)?n； ②将分子或分母放大（或缩小） ③利用基本不等式， 如：log3?lg5?(2lg3?lg52)?lg15?lg16?lg4； 2n?(n?1) n(n?1)?2④利用常用结论： Ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k；
Ⅱ、
11111111 ； （程度大） ??????22k(k?1)k?1kk(k?1)kk?1kk111111???(?) ； （程度小） 22(k?1)(k?1)2k?1k?1kk?1Ⅲ、
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：
已知x?y?a，可设x?acos?,y?asin?； 已知x?y?1，可设x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；
22222x2y2已知2?2?1，可设x?acos?,y?bsin?；
abx2y2已知2?2?1，可设x?asec?,y?btan?；
ab（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点． （8）数学归纳法法 解不等式——知识点归纳
1．解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式．
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(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式； ⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性
?f(x)＞0?f(x)＜0(1)f(x)2g(x)＞0与 ? 或?同解． g(x)＞0 g(x)＜0?? ?f(x)＞0?f(x)＜0(2)f(x)2g(x)＜0与? 或?同解．?g(x)＜0?g(x)＞0 ?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)(3)＞0与? 或?同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0?? (4)?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)＜0与? 或 ?同解．(g(x)≠0)g(x)?g(x)＜0?g(x)＞0
(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x) 与
①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解
?f(x)＞[g(x)]2 ?f(x)≥0?(7)f(x)＞g(x)与 ?f(x)≥0或?同解．?g(x)＜0?g(x)≥0?
?f(x)＜[g(x)]2(8)f(x)＜g(x)与?同解．?f(x)≥0
(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解， 当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．
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?f(x)＞g(x)(10)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)与?同解．f(x)＞0?
?f(x)＜g(x)?当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)与? f(x)＞0同解．??g(x)＞0
4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法
步骤：①形式：
P(x)?0?移项，通分（不轻易去分母） Q(x)②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正 ③判断或比较根的大小 绝对值不等式——知识点归纳
1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方 2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题
||a|─|b||?|a+b|?|a|+|b|;||a|─|b||?|a─b|?|a|+|b|;并指出等号条件
3．(1)|f(x)| (2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<─g(x)（无论g(x)是否为正） （3）含绝对值的不等式性质（双向不等式） a?b?a?b?a?b 左边在ab?0(?0)时取得等号，右边在ab?0(?0)时取得等号 第七章直线和圆的方程 直线方程——知识点归纳 1数轴上两点间距离公式：AB?xB?xA 2直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2?(x1?x2)2?(y1?y2)2 3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向 旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角 当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan α（α≠90°） 34 倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞） 5直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量F1F2=（x2－x1，y2－y1） 称为直线的方向向量 向量 y?y11F1F2=（1，2）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率特别地，垂直x2?x1x2?x1于x轴的直线的一个方向向量为a＝(0,1) ?6求直线斜率的方法 ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα ②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=y2?y1 x2?x1③方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=?n m平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率 对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank 7直线方程的五种形式 点斜式：y?y0?k(x?x0)， 斜截式：y?kx?b 两点式： y?y1x?x1xy?， 截距式：??1 y2?y1x2?x1ab一般式：Ax?By?C?0 两直线的位置关系——知识点归纳 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直 王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1//l2?k1=k2且b1?b2 王新敞35