2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20004005 所属学校（请填写完整的全名）： 中南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 周 旭 2. 赵基宇 3. 毛建锋 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 郑洲顺
日期： 2007 年 9 月 24 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
评 阅 人 评 分 备 注
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长预测
摘 要
本文对中国人口2001年-2005年抽样数据进行统计分析，建立中国人口增长的Leslie模型；根据中国的实际情况和人口增长的特点，对Leslie模型及参数进行改进和修改，对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。
首先，我们对人口数据进行统计分析，得到各年龄人口平均死亡率和各年龄育龄妇女平均生育率。利用获得的数据代入模型一——静态Leslie模型，利用MATLAB7.0软件，对人口发展作出中短期预测和长期预测。预测结果中总和生育率为1.4，小于《国家人口发展战略研究报告》中给出的总和生育率值1.8。于是，在模型二中我们在保证总和生育率为1.8的前提下对各年龄育龄妇女生育率进行了修正，再次对人口发展状况进行预测，改进了静态Leslie模型。但在实际中各年龄段育龄妇女的生育率、男女性别比等参数随时间变化，非固定值。因此，改进后预测值仅只符合中短期人口发展规律，对人口发展长期预测仍然误差较大，不适用。为了减小预测误差，我们引入模型三——动态参数Leslie模型。具体步骤为：第一步，用灰色GM（1，1）模型预测出人口出生性别比；第二步，引入反馈机制对各年龄段育龄妇女的生育率预测数据进行逐年调节；第三步，以此动态参数代回模型对中短期和长期人口发展趋势进行预测。预测结果见表5.4.3。
其次，研究出生性别比对人口发展的影响。通过男女性别比例与出生性别比
?[x(n)(1?d)k(n)]?x(n?1)br(n?1)的关系给出以下男女性别比预测模型： k(n+1)=?x(n?1)ii0iii针对男女性别比持续升高的问题，引入国家控制力度值P，P值直接作用于出生性别比，进而缓减男女性别比的持续上升趋势（不同P值下的男女性别比例发展情况见图5.5.3）。
再次，对本文模型优缺点进行评价。动态Leslie模型具有预测结果精度高、预测时间长、可调性强、反馈效果明显、模型适用范围广等优点。模型的缺点是难以确定国家政策与模型中控制力度P的量化关系以及没有考虑死亡率随时间的变化。
最后，利用预测数据与实际数据进行对比，检验模型的精确性；增加考虑城乡人口迁移等因素，对模型进行推广，提出用因素分析的方法研究人口系统之外的各因素对人口发展的影响等的模型调整和改进思路。
关键词：Leslie模型，灰色GM（1，1）预测，动态参数，反馈机制，出生性别比，国家控制力度
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一、问题的重述
1.1 问题背景
一个国家和地区的人口对当地的经济会产生重要影响，因此人口预测对未来社会、经济的发展会起到非常重要的作用。中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。 1.2 基本信息
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 2007年初发布； 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明 1.3 问题的提出
因此，我们根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测。
为了能够更好地对人口进行预测，首先，从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型；其次由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；最后，重点指出模型中的优点与不足之处。
二、问题的分析
2.1 发展概况
20世纪30年代A.J.洛特卡建立了人口的定常积分方程模型。40年代莱斯利建立了差分方程组模型。60年代又出现了弗尔斯特的偏微分方程模型。70年代波拉德在莱斯利模型基础上提出了随机模型。建立完善的人口系统闭环控制模型，则是最近几年的事。中国控制论学者在这项工作中取得了重要成果。
人口模型分为两类，一类是确定性模型，另一类是随机模型。如果按年龄和时间是连续量还是离散量，又可将人口模型分为连续模型和离散模型两种。连续模型是由偏微分方程描述的带边界控制的分布参数系统，离散模型是由差分方程组描述的双线性系统。离散模型可用离散化方法从连续模型得到。连续模型便于理论分析，而离散模型适合于计算机仿真。
所以为了有效减少计算量，更好处理数据，本问引进离散形式模型——Leslie模型。 2.2 问题分析
针对中国人口发展所出现的一些新特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等的因素，我们要建立适合中国人口增长的数学模型，并对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出优缺点。
首先，要对附录提供的人口数据进行数据处理。先求出每年市镇乡男女的平均死亡率，再对2001-2005年的各年男女死亡率求总平均值。以及总男女比例平均值、总妇女生育率平均值等。
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然后，通过对数据的初步分析，我们决定引入离散形式的经典人口模型——Leslie模型。引入模型之后，就是要针对模型对人口统计数据代入模型，得出模型中的各个参数及预测结果，主要是育龄妇女的一生平均生育的儿女数等等。再对模型这些结果进行分析，建立Leslie模型的改进模型。改进模型中，考虑到中国人口发展的这些特点，硬性确定其中的主要变量，即假设每个育龄妇女一生平均生育的儿女数为达稳定状态的固定值等，再代入数据得出适合中国人口发展的模型。但是这样求出的人口发展模型只适合短期的人口预测，所以在此基础上，重新设定参数，假设每一育龄妇女一生平均生育的儿女数不同的年份为一波动的变化值，继而建立并完善最终的人口发展模型。
此人口发展模型中，关键是要考虑人口的出生率问题以及出生率的变化情况，具体便是每一育龄妇女一生平均生育的儿女数的控制问题，结合中国人口的发展状况来求解。
三、问题的假设
1）在未来的几年时间里中国人口政策不变；
2）社会经济环境以及国际环境相对稳定，人口变化遵循自身发展规律，不会受到自然灾害、战争等的影响；
3）各年龄段人口死亡率波动很小，相对恒定，设为常数； 4）《国家人口发展战略研究报告》中关于全国总和生育率在未来30年应保持在1.8左右的判断正确；
四、符号说明
x i(k) 表示k年i岁的女性人数；
d i 表示i岁的女性死亡率； si 表示i岁的女性存活率； bi (k) 表示k年i岁的女性生育率；
?(k) 表示k年i岁的女性一生平均生育的儿女数； hi 表示年龄为i的女性的生育加权因子，即生育模式； L(k) 表示生育率和存活率矩阵；
A(k) 表示人口存活率矩阵； B(k) 表示育龄妇女生育模式矩阵；
br(k) 表示出生性别比（即每出生100个女婴所对应的男婴出生数目）； k(n) 表示男女性别比例；
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