五、模型的建立与求解
5.1 人口数据的统计与分析
根据中国人口的统计数据，首先引入偏差程度δ，并约定偏差程度δ>10%时将不可忍受，对2001年-2005年的数据进行分析，剔除中间出现的一些异常缺失或不全的数据，然后利用MATLAB7.0软件和Microsoft Excel 2003进行处理，主要有以下数据统计结果：
1）对2001年-2005年各年龄人口的死亡率进行分析发现，死亡率的年差异性<0.05%,此处认为人口死亡率相对稳定，可视为常数。下图5.1.1为2001年-2005年各年龄人口存活率的比较图，图表中显示各年的曲线基本相同，说明各年龄人口死亡率相对稳定，所以证明了假设中死亡率相同是合理的；
2001-2005年各年龄存活率存活率（千分比）1500100050002001年2002年2003年2004年2005年
010203040506070548060年龄图5.1.1 2001年-2005年各年龄人口存活率的比较
所以，由以上图中数据我们可以计算出各年龄人口的总平均存活率，结果如下图5.1.2：
各年龄存活率12001000平均存活率800600400200006121824303642486690727884年龄90
图5.1.2 各年龄人口平均存活率
2）对2001年-2005年的数据进行分析发现，2005年数据与平均状态的差距>可忍受的偏差程度，下图5.1.3是2001年-20005年各年龄段女性的生育率的比较图，由图中也可发现2005年数据明显低于其他年份，视为异常数据。因此，
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仅通过前四年（2001-2004年）的数据取平均值，结果如图5.1.4所示：
90807060504030201001518212427303336394245482001年2002年2003年2004年2005年
图5.1.3 2001年-20005年各年龄段育龄妇女的生育率
平均生育率（千分比）8060402001518212427303336394245年龄图5.1.4 各年龄育龄妇女的平均生育率
各年龄育龄妇女的生育率具体数据如下表表示：
年龄（岁） 生育率‰ 年龄（岁） 生育率‰ 15 0.19209 33 14.061 16 0.38637 34 10.712 17 0.77141 35 7.5944 18 2.4952 36 5.318 19 6.9561 37 3.8526 20 19.163 38 2.6849 21 40.936 39 1.9897 22 59.842 40 1.546 23 71.061 41 1.1177 24 72.074 42 0.66679
5
48
25 26 27 28 29 30 31 32 67.488 60.572 49.634 41.269 33.797 27.025 22.951 19.301 43 44 45 46 47 48 49 0.36554 0.40977 0.29029 0.14674 0.21866 0.2365 0.18866 表 5.1.1 各年龄育龄妇女的生育率
2001年女性人口按年龄分布
14000120002001年女性按年龄分段的人数1000080006000400020000010203040
50年龄60708090100
图5.1.5 2001年女性人口按年龄分布图
下表即是上图对应的各个数据 年龄 各年龄对应人口数（人） 0-9岁 6511.7 5590.7 5590.4 6620 6925 7416.8 8103.8 7980 8778.5 9099.3 10-19岁 10233 11947 11469 11497 12186 10626 9490 8547.8 8364.8 9413.9 20-29岁 8220.6 8149.6 8689.8 8587.5 8421 9746 9966.9 10662 11408 11510 30-39岁 12174 12705 12002 12756 10550 11712 11674 11828 13300 9379.5 40-49岁 6184.6 7513.7 6710 8706.8 9182.5 8743.5 9123.4 8869.5 8138.6 7894.5 50-59岁 7726.7 7044 6602.9 5793.6 5886.4 5305.7 4817.1 4591 4482.6 4354.9 60-69岁 4632.4 4278.2 4018.2 4230.7 4079.1 4094.9 3742.5 3638 3685.2 3136.1 70-79岁 3200.9 2939.1 2513.9 2588.5 2255.8 1996.1 2027.5 1706.7 1570.9 1433 80-89岁 1326.8 1051 931.08 732.34 610.28 533.59 472.4 366.17 320.81 228.29 90岁+ 671.47 表5.1.2 2001年女性人口按年龄分布数据
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5.2 模型一 按年龄分组的人口模型——静态的Leslie模型[1]
如果按年龄和时间是连续量还是离散量，又可将人口模型分为连续模型和离散模型两种。连续模型是由偏微分方程描述的带边界控制的分布参数系统，如人口发展方程等；离散模型是由差分方程组描述的双线性系统，如Leslie模型等。离散模型可用离散化方法从连续模型得到；连续模型便于理论分析，而离散模型适合于计算机仿真。
所以根据对人口数据的分析，我们引进按年龄分组的人口模型——Leslie模型。引进这个模型不但可以使计算简单化，减小很多计算量，其结果也能很好地与人口发展的实际情况吻合。
5.2.1 模型的建立
为了方便起见这里只涉及女性人口（只要考虑性别比函数即可得到总人口） 首先将人口按年龄进行分组，以1岁为1个年龄组，1年为1个时段，在此只考虑女性人口，总人口可以根据性别比的函数给出。
记x i (k)为k年i岁的女性人数；设死亡率与年龄和时间有关，并记k年i岁的女性死亡率为d i ，存活率为si ，有d i + si=1。
设生育率与年龄和时间有关，记k年i岁的女性生育率为bi (k)，育龄区间为[i1,i2]，育龄区间外的bi(k)=0;为了增加人口发展的可控性，我们进一步将bi(k)进行分解：
i2bi(k)??(k)hi(k) ， ?hi(k)?1 （1）
i?i1这样就有：
?(k)??bi(k) （2）
i?i1i2hi(k)是年龄为i的女性k年的生育加权因子，即生育模式；?(k)就代表了k年所有女性平均生育的女儿数，若女性在育龄期内保持生育率不变，则?(k)就是k年i1岁的每位女性一生平均生育的女儿数。
下面给出xi(k)的变化规律。首先，k+1年0岁的人口数量是k年处于育龄区间的各年龄的女性的总生育人口，即
x0(k?1)??bi(k)xi(k) （3）
i?i1
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i2k+1年 i+1岁的人口数量是k年i岁的女性中存活下来的数量，即
xi?1(k?1)?sixi(k) （4）
记k年各年龄的人口分布为向量形式：
X(k)=[x0(k) , x1(k) , x2(k) , ?? , xn(k) ]T （5）
将生育率和存活率写为矩阵形式：
?b0(k)b1(k)?0s0?L???????0?bn?1(k)bn(k)?????????? （6）
??sn?10?
则女性人口模型可以写为以下形式：
X(k+1)=L X(k) （7）
给出人口的初始分布X(0)，及矩阵L，就可以根据此模型进行人口预测。
5.2.2 模型的求解
通过代入5.1数据的统计与分析中得出的数据结果到模型中，用MATLAB7.0求解（具体程序代码见附录），我们预测出了未来中短期和长期的人口数据，用2001年的女性人数计算得出30年后的总女性人口数量如下:
6.356.36.256.26.156.16.0565.95x 105女性人口总数0510152002-2031年202530
图5.2.2 30年后的总女性人口数预测
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