相应的数据： 年段 2002-2006 2007-2011 2012-2016 20017-2021 2022-2026 2027-2031
5.99 6.13 6.24 6.32 6.32 6.22 人数（单位：105 ） 6.03 6.05 6.08 6.15 6.17 6.19 6.26 6.28 6.29 6.33 6.33 6.33 6.30 6.29 6.27 6.20 6.17 6.13 6.10 6.21 6.31 6.33 6.25 6.10 表5.2.2 30年后的总女性人口数预测
9080706050男403020100-100000-50000050000100000
女图5.2.3 2001年男女人口的金字塔图
5.2.3 模型的分析
该Leslie模型为经典的人口模型，能很好地预测出人口的未来走势。但是，针对中国人口发展所出现的老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等的特殊情况，模型并不完全适用于中国的人口发展，并且
?(k)<1.8，违背中国人口发展的方针政策：如果人口总量（不含香港、澳门特别行政区和台湾省，下同）峰值控制在15亿人左右，全国总和生育率在未来30年应保持在1.8左右，过高或过低都不利于人口与经济社会的协调发展。所以在模型二中我们将对模型参数进行修正。
9
5.3 模型二 改进后的静态Leslie模型
5.3.1 模型修正
针对于模型一中的不足，对参数做出修改，如果总和生育率?(k)维持在1.8，并且生育模式不变，我们给出调整后新的bi(k)，这里，bi(k)满足两个条件：
?b(k)?1.8/(1?br) 总和生育率为1.8
ii=i0i1bi(k)??bi(k)bi(k)? 生育模式不变
1.8?由此可以解出：
?bi(k)?1.8???bi(k) （8）
5.3.2 模型求解
同样用2001年的女性人口来预测，取当年的男女出生比1.14算得30年后的女性总人口为：
6.7x 1056.66.5女性人口总数6.46.36.26.160510152002-2031年202530
图5.3.2 30年后的女性总人口预测图
10
年 段 2002-2006 2007-2011 2012-2016 20017-2021 2022-2026 2027-2031
6.01 6.23 6.44 6.61 6.69 6.68 人口（单位：105 ） 6.06 6.11 6.15 6.27 6.31 6.35 6.48 6.51 6.55 6.64 6.66 6.67 6.69 6.69 6.69 6.67 6.66 6.65 6.19 6.39 6.58 6.69 6.69 6.64 表5.3.2 30年后的女性总人口预测图
5.3.3 结果和分析
以上结果能很好的预测中国的人口发展状态，但是人口发展模式不可能一成不变。在实际情况中，人口发展的模式（如女性死亡率、存活率等）是处于一个动态变化中，所以为了能使预测出的结果更好的反映实际人口发展情况，我们将在模型三中进一步修正模型一和模型二，使模型动态发展。
5.4 模型三 中国人口发展模型——带反馈系统的动态Leslie模型
5.4.1 模型的建立
人口系统工程通过对人口系统的分析，运用人口控制论的基本原理，研究人口系统的特征和规律，制订人口目标规划和人口指标体系，进行人口预测和人口仿真等项工作，以便为政府制订人口政策提供科学依据。
考虑到上述模型中的参数均会随时间变化，且时间越长数据差异会越大，下面采用动态的参数建立模型，并引入反馈机制（如下图）对参数进行逐年调整，以期提高预测精度并做长期预测。
人口结构输入值 生育率 动态参数Leslie模型 人口结构预测值 出生性别比
图5.4.1 动态参数Leslie模型反馈系统
从控制论观点来看，在动态参数的Leslie模型的人口系统中，人口结构预测值可视为状态变量，生育率视为控制变量，是分布参数系统的边界控制函数。上图结构表明控制输入中含有状态变量，形成状态反馈，出生性别比视为反馈增
11
益。并且通常是一种正反馈，即人口结构预测值的变化，通过生育率又使人口结构预测值进一步变化。所以，政府就可以根据这种反馈系统，制定相关人口政策。
仍旧，记x i (k)为k年i岁的女性人数；设死亡率与年龄有关，并记k年i岁的女性死亡率为d i ，存活率为si ，有d i + si=1。
设生育率不仅与年龄有关，并且和时间有关，记k年i岁的女性生育率为
bi (k)，育龄区间为[i1,i2]，育龄区间外的bi(k)=0;进一步将bi(k)进行分解：
bi(k)??(k)hi ， ?hi?1 （9）
i?i1i2这样就有：
?(k)??bi(k) （10）
i?i1i2下面给出xi(k)的变化规律。首先，k+1年0岁的人口数量是k年处于育龄区间的各年龄的女性的总生育人口，即
x0(k?1)??bi(k)xi(k) （11）
i?i1i2k+1年 i+1岁的人口数量是k年i岁的女性中存活下来的数量，即
xi?1(k?1)?sixi(k) （12）
记k年各年龄的人口分布为向量形式：
X(k)=[x0(k) , x1(k) , x2(k) , ?? , xn(k) ]T （13）
则可以将生育率和存活率写为矩阵形式：
?b0(k)b1(k)?0s0?L(k)???????0?bn?1(k)bn(k)?????????? （14）
??sn?10?
则女性人口模型可以写为以下形式：
X(k+1)=L(k) X(k) （15）
至此，问题转化为求解L（k），在这里，bi(k)根据出生性别比进行调整，
12
基本原则是保持?(k)=1.8不变，由于bi(k)为生育女儿的生育率，所以在总和生育率恒定的情况下，出生性别比会影响到bi(k)，并且类似前面对?(k)修正的处理，这里bi(k)及?(k)要满足以下条件：
?b(k)?1.8/(1?br(k))ii=i0i1i1?b(k?1)?1.8/(1?br(k?1))ii=i0 总和生育率为1.8
bi(k?1)i1ii=i0?bi(k)i1ii=i0?b(k?1)?b(k)
生育模式不变
可以解得：
bi(k)[?1br(k)]k?1?) bi( （16）
1?br(k?1)这样便得到了各年龄段生育率的递推式，可以逐年修正bi(k)的取值。下面对br(k)进行求解。
5.4.2
br(k)的求解——男女性别比预测模型——GM（1，1）模型
[3]
5.4.2.1 模型的分析与建立
首先，我们对历年中国人口性别比的趋势作一描述具体图如下：
125120出生性别比历年出生性别比11511010510095196419891995199719992001年代2004
13