（II）由函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，可得f′（2）=1，解出k=﹣2，
．可得g′（x）=3x+（t+4）x﹣2，由于函数g（x）在区
2
间（1，2）上存在极值，注意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=﹣2＜0，因此只需
，解出即可．
解答： 解：（Ⅰ）当k=﹣1 时，
．
，
令f′（x）＞0 时，解得x＞1，令f′（x）＜0 时，解得0＜x＜1， ∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）． （Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行， ∴f′（2）=1，即∴k=﹣2，
，
， ，
∴g′（x）=3x+（t+4）x﹣2，
∵函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，
注意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=﹣2＜0， ∴只需
，
2
解得﹣9＜t＜﹣5，
∴t 的取值范围为（﹣9，﹣5）．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、二次函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（13分）已知椭圆C：
+
=1（{a＞b＞0}）的离心率e=
，且由椭圆上顶点、右焦
点及坐标原点构成的三角形面积为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．
考点： 圆锥曲线的实际背景及作用；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）留言椭圆的离心率，a、b、c的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）利用直线斜率存在与不存在两种情况，通过直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标，求出直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．k1+k2 为定值．
解答： 解：（Ⅰ）由题意得，解得a=8，b=4，
22
所以椭圆C的方程为=1．…5分
（Ⅱ）k1+k2 为定值4，证明如下：…6分
（ⅰ）当直线l斜率不存在时，l方程为x=﹣1，
由方程组 易得，，
于是k1=，k2=
，
所以k1+k2=4为定值．…8分
（ⅱ）当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣（﹣2）=k[x﹣（﹣1）]，即y=kx+k﹣2， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由方程组
，消去y，得（1+2k）x+4k（k﹣2）x+2k﹣8k=0，
2
2
2
由韦达定理得（*） …10分
∴k1+k2=
=
=
=2k+（k﹣4）?，
将（*）式代入上式得k1+k2=4为定值．…13分．
点评： 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．