第二章 资金的时间价值
一、例题
【例2.2】有一笔50000元的借款，借期3年，年利率为8%，试分别计算计息方式为单利和复利时，其应归还的本利和。? 【解】用单利法计算：
F＝P(1+i·n)＝50,000×(1+8%×3)＝62,000(元)?? 用复利法计算：
? Fn=P(1+i)n=50,000×(1+8%)3=62,985.60(元)??
【例题2-3】现设年名义利率r＝15％，则计息周期为年、半年、季、月、日、无限小时的年实际利率为多少？
解：年名义利率r＝15％时，不同计息周期的年实际利率如下表 年名义利率（r） 计息周期 年 半年 季 15％ 月 周 日 无限小 二、练习
（1）若年利率i=6%,第一年初存入银行100元，且10年中每年末均存入100元，试计算： １．到第十年末时的本利和？ ２．其现值是多少？ ３．其年金是多少？
解：首先画出现金流量图如图1所示，图1可转化为图2
0
则结果为：
100
图1
年计息次数计息周期利率年实际利率（m） 1 2 4 12 52 365 ∞ （i＝r/m） 15％ 7.5％ 3.75％ 1.25％ 0.29％ 0.04％ 无限小 （ieff） 15.00％ 15.56％ 15.87％ 16.08％ 16.16％ 16.18％ 16.183％ F 10 年
-1 0
0 1
100
图2
10 年 11
(1?0.06)1．
F?A(F/A,6%,11)?100
0.06
11?1?1497.16(元)1
?1?0.06?10?1?100?836.01（元）10?1?0.06??0.063、 10?1?0.06??0.06?113.59（元） A?P(A/P,6%,10)?836.0110?1?0.06??12、 P?A(P/A,6%,10)?A?100（2）已知年利率i=12%,某企业向金融机构贷款100万元。 （1）若五年后一次还清本息共应偿还本息多少元？
（2）若五年内每年末偿还当年利息，第五年末还清本息，五年内共还本息多少元？ （3）若五年内每年末偿还等额的本金和当年利息，五年内共还本息多少元？（等额本金还款）
（4）若五年内每年末以相等的金额偿还这笔借款，五年内共还本息多少元？（等额本息还款）
（5）这四种方式是等值的吗？ 解：
n（万元）（1） F?P(1?i)?100?1?0.12??176.235（2） T?P?i?n?P?12?5?100?160（万元）（3） T ?100?i?80?i?60?i?40?i?20?i?100
?12?9.6?7.2?4.8?2.4?100?136 (万元) （4） 5?1?0.12??0.12A?P(A/P,12%,5)?100?27.74（万元）5 ?1?0.12??1
T?A?5?27.74?5?138.7（万元）
（5）以上四种方式是等值的。
三.某人存款1000元，8年后共得本息2000元，这笔存款的利率是多少？若欲使本息和翻两番，这笔钱应存多少年？ 解：由 得
F?P?1?i?n82000?1000?1?i?8i?2?1?9.05%同理，由 F?P?1?i?n 得 8000?1000?1?0.0905?n
1.0905n?8n?ln8?24(年) ln1.0905四、复利计算：
（1）年利率r=12%，按季计息，1000元现款存10年的本息和是多少？
（2）年利率r=12%，按月计息，每季末存款300元，连续存10年，本利和是多少？
2
（3）年利率r=9%，每半年计息一次，若每半年存款600元，连续存10年，本利和是多少？ 解：（1）由 F?P?1?i?n
10?4 F?1000???1?0.12?4???3262.04（元）（2）由 i???r?m ?1?m???1
i?0.03?3季??1???1?3.03% ?3?
F?300?1?0.0303?40?10.0303?22774.84（元）
（3）由 ir0.09半年???
m20.045 F?600?1?0.045?20?1?18822.85（元）
0.045五、证明：
（1）（P/A，i,n)=(P/A,i,n-1)+(P/F,i,n) 证明： 右式= ?1?i?n?1?1 ?1?i?n?1i?1?1?i?n通分后有：
???1?i?n?1?1??1?i??i??1?i?n?1
?1?i?ni?1?i?ni?(P/A,i,n)?左式（2）P（A/P，i，n)-L(A/F，i，n) = (P-L)(A/P，i，n)+Li P为原值，L为残值的固定资产的折旧（年金）的计算 证明： n左式=
P?1?i?i?1?i?n?1?Li?1?i?n?1上式中加一个Li，减一个Li，有 n ?P?1?i?i?1?i?n?1?Li?1?i?n?1?Li?Li
?P?1?i?nii?i??1?i?n?1
?1?i?n?1?L??1?i?n?1?Linn? P?1?i?i?L?1?i?i?1?i?n?1?1?i?n?Li
?1 3
n
?1?i?i??P?L??Lin ?1?i??1=右式
六.假设你从9年前开始，每月月初存入银行50元，年利率为6%，按月复利计息，你连续存入71次后停止，但把本息仍存在银行。你计划从现在起一年后，租一套房子，每月月末付100元租金，为期10年。试问：你的存款够支付未来10年房租吗？ 解：
0 70 108 120 121 240 月 50 P i月?6%?0.5F
F ?50(F/A ,i, 71)(1?i)5071?1?0.005??1?1?0.005?50?500.005?5452.68120?1?0.005??0.005A?5452.68(A/P,i,n)?5452.68?1?0.005?120?1=60.54（元）<100元
故这笔存款不够支付10年房租。
七.某人借了5000元，打算在48个月中以等额按月每月末偿还，在归还25次之后，他想以一次支付的方式偿还余额，若年利率为12%，按月计息，那么， （1）若他在第26个月末还清，至少要还多少？ （2）若他在第48个月末还清，至少要还多少？ 解：首先画出现金流量图 i月?
0 1 25 26 48 月 T26=？ T48=？ A 12%?15000 ?1?0.01?48?0.01?131.67 A?P(A/P ,12%, 48)?500048?1?0.01??1 26 48 月 T26
26 27 48 月 T26 4
T26?A(P/A,1%,22)?A22?1?0.01??1 ?131.67?131.67?2720.35 ?元?22 ?1?0.01??0.01同理 T48
八.某公司1998年1月1日发行2004年1月1日到期、利息率为8%的半年计息并付息一次、面值为1000元的债券。如果某人拟购此债券，但他希望能获得年利率为12%，按半年计息的复利报酬，问在1998年1月1日该债券的价值是多少？ 解：
40 0 1 12 半年 P=？ i=6% 1000 26 48 月
T48＝？ 25 26 48 月 0 1 23 T4823?1?0.01??1?A(F/A,1%,23)?131.67?3386.07?元?0.01 P?A(P/A ,6% ,12)?1000(P/F ,6% ,12)12 ?8%1?0.06??11000 ?1000????832.32 ?元?1212 2?1?0.06??0.06?1?0.06?九.某工厂购买了一台机器，估计能使用20年，每4年要大修一次，每次大修费用假定为5000元，现在应存入银行多少钱才足以支付20年寿命期间的大修费支出？按年利率12%，每半年计息一次。
解：画出现金流量图
5000 转化为
5000 5000 5000 0 4 8 12 16 20 年
r=12% P=？ 5000 0 1 2 3 4 5 （4年） i P=? 5