所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?ae 将其代入原方程得
*x2x?c2e?4x（c1,c2为?常数） ???3?
?5aex?2ex,a??25
2y*(x)??ex5???6? 故特解
3)原方程的通解为y?c1e?c2e
2x?4x2?ex5???7?
高等数学（下）模拟试卷六参考答案
一、 填空题：（每空3分，共21分）
12222??(x,y)x?1?y?x?12xcos(x?y)dx?2ycos(x?y)dy, 321、， 2、，、
?20204、22，5、?，6、绝对收敛，7、y?x?c（c为?常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D 三、解：
31、令F(x,y,z)?z?3xyz?5???2?
d??f(r2)rdr1F?zyz??x?2?xFzz?xy ???4?
Fy?zxz???2?yFzz?xy ???6?
2、所求平面方程的法向量可取为?2,1,3????2?
则平面方程为：2(x?1)?y?3(z?2)?0???6?
03、原式01?3 ???6?
??dx?(x2?y2)dy1x???4?
四、解：1、令
原式
P(x,y)?x2?y,Q(x,y)??(x?siny),121?P?Q???1?y?x???3?
??(x?0)dx??(1?siny)dy00???6?
?cos1?53 ???7?
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2、令P?x,Q?y,R?z???2?
原式
????(??P?Q?R??)dv?x?y?z???5?
???7? ? ?9????8?
3、(1) 此级数为交错级数 ???1?
111?lim?0n??lnn 因 ，lnnln(n?1)(n?2,3??) ???4?
故原级数收敛 ???5?
(2) 此级数为正项级数???1?
n?143lim??1n???34nsinn3 因 ???4? 故原级数发散 ???5?
2f(x,y)?4y?y?0f(x,y)?6x?6?0yx五、解：1、由，得驻点(?1,0),(?1,4)
???3?
A?fxx(?1,0)?6,B?fxy(?1,0)?0,C?fyy(?1,0)?4在(?1,0)处
2AC?B?0,A?0，所以有极小值f(?1,0)??2 ???5? 因
????3dv4n?1sin?在(?1,4)处
A?fxx(?1,4)?6,B?fxy(?1,4)?0,C?fyy(?1,4)??4
2AC?B?0,，所以在此处无极值 ???7? 因
2、通解
y?[?exe??1dxdx?c]e?dx ???3?
x?(x?c)e ???5? yx?0?c?1,
xy?(x?1)e特解为 ???7?
3、1)对应的齐次方程的特征方程为 r2?5r?6?0 , 有两不相等的实根r1?2,r2?3
2x3x所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e?c2e（c1,c2为?常数） ???3?
2)设其特解y(x)?(ax?b)e
*x152ax?3a?2b?x?1,a?,b?24 将其代入原方程得
15y*(x)?(x?)ex24???6? 故特解
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3)原方程的通解为y?c1e2x?c2e3x15?(x?)ex24???7?
一．填空题：（每空3分，共24分）
2t3y?C?()?y?1yt(x,y)|0?x?y?25??yxdx?xlnxdy 351. 2. 3.
yx22y?e(C1cos2x?C2sin2x) 7.8?8. 2 y?Cx1?xy 4. 5. 6.
22二．选择题：（每题3分，共15分）
1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）
?z?z?u?z?v2x3x2???2ln(3x?4y)?2?x?u?x?v?xy(3x?4y)y1.解： ………(4分) ?z?z?u?z?v?2x24x2???3ln(3x?4y)??y?u?y?v?yy(3x?4y)y2 ………(7分)
3n?1(n?1)?2n?13nn?2n3. 解：??eDx2?y2dxdyu2.解：limn?1?limx??ux??n?(5分)=? 2? 0d??erdr??(5分)01r2四．计算下列各题（每题10分，共40分）
1.解：原方程的通解为1 2?13r2=?ed? ??1???(6分) 0022所以此级数发散????(7分) ??(e?1)??(7分)
y?e1??dxx?[?lnxe??xdx1dx?c] ???(6分)1=x[?lnxdx?C]?x[?lnxdlnx?C]x1?x[(lnx)2?C]?????????(10分)2
2. 解：???x?y?dxdy=?dx?D 01x 0?x?y?dy??(6分)
1? 131?x1=??xy?y2?dx??x2dx???(10分) 0 022?02?考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 23 页 共 24 页
??fx(x,y)??2x?6?03.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)????(4分)?2f(x,y)?3y?12?0??yfxx(x,y)??2,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)?6y在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，AC?B2=-24<0，故点(3，2)不是极值点????????(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，AC?B2=24>0，且A<0，2)是极大值点，极大值f(3,?2)?30??????(10分) 故点(3，4.解：此幂级数的收敛半径：R=limn??anan?112nn4?lim?4??(6分)n??1(n?1)24n?1x?4时幂级数变为?1是收敛的p-级数2nn=1??(-1)nx??4时幂级数变为?2绝对收敛?????????????(8分)n=1nxn 所以?2n收敛域为[-4，4]????????????????(10分)n?4n?1
?
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