第二章 单级倒立摆数学模型
2.1 倒立摆系统的组成
摆杆 小车
滑轮 皮带 带 滑轨 电机 图2-1 一阶倒立摆系统结构图
倒立摆系统主要由倒立摆、控制计算机及接口电路三部分组成。倒立摆由导轨、摆杆、小车、电机、位置和角度电位器等构成,如图2-1。角度电位器装在摆杆与小车联接铰链处，用来检测摆杆与铅垂线的角度偏移，而小车相对轨道中心点的位移由固定在皮带轮轴上的电位器来检测。计算机主要完成算法的解算与执行。接口电路包括检测电路、微分电路和功率放大电路三部分，主要完成信号检测、变换及功率驱动的功能。
2.2 倒立摆系统的工作原理
计 算数 据 采 D/A功率放大执行电机一 阶 A/Dx?倒 机 ???? 微分 电路立 检测 电路 集 x ?x摆 ?? ?
图2-2 倒立摆工作原理图
倒立摆是一个数字式的闭环控制系统，其工作原理为:角度、位移信号经检测电
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路获取后，由微分电路获取相应的微分信号。这些信号经A/D转换器送入计算机，经过计算机内部的控制算法解算后得到相应的控制信号，该控制信号经过D/A变换、再经功率放大由执行电机带动皮带拖动小车在导轨上做往复运动，从而实现对小车位移和倒立摆角位移的控制。
2.3 直线一级倒立摆模型的数学建模
在建立系统的运动学及动力学方程时，为方便数学推导，忽略一些次要因素，作出以下假设：
① 摆杆及小车都是刚体。
② 皮带轮与皮带之间无相对滑动，传送皮带无伸长现象。
③ 小车的驱动力与直流放大器输入成正比，忽略电极电枢绕组的电感。
④ 略去摩擦力，小车受到的摩擦力正比于小车的速度，下摆杆转动时所受的摩擦力矩正比于其转动角速度，上摆转动时所受的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度。
倒立摆小车系统如图2-3所示。在忽略了空气流动，各种摩擦之后，一阶倒立摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统，假设:M为小车质量;m为摆杆质量; l为摆杆转动轴心到杆质心的长度;I为摆杆惯量;F为加在小车上的力;x为小车位置; ?为摆杆与垂直向上方向的夹角。
I l ? l P m N F M x
图2-3 倒立摆系统受力分析图
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在外力F的作用下，小车及摆杆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动的惯性力应该与F平衡，于是有：
d2xd2M2?m2(x?lsin?)?F dtdt(2-1)
即：
??cos??ml??2sin??F ??ml?(M?m)?x(2-2)
为了推出系统的第二个运动方程，我们对倒立摆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：
d2P?mg?m2(lcos?)
dt(2-3)
即：
??sin??ml??2cos? P?mg??ml?力矩平衡方程如下：
?? Plsin??Nlcos??I?(2-4)
(2-5)
d2其中N?m2?(x?lsin?)
dt??sin??ml??2sin? ???ml??N?mx??可知： 由Plsin??Nlcos??I?(2-6)
???Nlcos?I?有P?
lsin????(mx??cos??ml???sin?)lcon????ml?I??
lsin????mxl??cos2??ml2??2sin?cos???cos??ml2?I??
lsin?
(2-7)
??sin??ml??2cos?中可得： 代入P?mg??ml????m??lcos??mglsin??0 (I?ml2)?x5
(2-8)
所以经过整理后的方程组为：
??cos??ml??2sin??F??ml?(M?m)?x???m??lcos??mglsin??0 (I?ml2)?x(2-9) (2-10)
考虑到摆杆在设定点??0附近做微小的振动，对上式进行局部线性化，即用
cos??1,sin??0做近似处理后可得：
(M?m)?x??ml?x??F (I?ml2)????ml?x??mgl??0
由(M?m)?x??ml????F可知： ?x??F?ml???M?m
?(I?ml2)????mlF?ml???M?m?mgl??0 2(I?ml2)????mlFM?m?ml2???M?m?mgl??0
(I?ml2?m2l2M?m)????mgl??mlFM?m
mgl??mlF????M?m I?ml2?m2l2M?m ?Mmgl??m2gl??mlFMI?mI?Mm2l
Mmgl?m2?glMI?mI?Mml2??mlMI?mI?Mml2F 代入原式有：
F?ml[Mmgl??m2g(??mlF)?x??MI?mI?Mml2]M?m 6
(2-11) (2-12)
(2-13)
(2-14)
IF?ml2F?m2gl2??
MI?mI?Mml2m2gl2?I?ml2???F 22MI?mI?MmlMI?mI?Mml(2-15)
??代入(2-11)，?，x? 假设用控制量u 来形象地代表被控对象的输入力F,把求的?(2-12)
中得模型的状态方程为：
??x??x?222mgl(I?ml)?????x??u22?I(M?m)?MmlI(M?m)?Mml? (2-16) ????????ml???mgl(M?m)??u??22?I(M?m)?MmlI(M?m)?Mml?
?0??0?A???0?0??10m2gl20?I(M?m)?Mml200mgl(M?m)0I(M?m)?Mml20??0?? 1?0???0??2??I?ml?2?I(M?m)?Mml? B??0??ml???2??I(M?m)?Mml???1000?C????0010? D?0?M?0.5000kg,m?0.3360kg?2g?9.8000m/s?将代入上式中得到状态空间方程： ?l?0.1875m,I?0.0224kg/m2?
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