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2.4 直线一级倒立摆系统的定性分析
在得到系统的数学模型之后，为进一步了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是对系统的稳定性、能控性以及能观性的分析。竖直向上位置是直线一级倒立摆系统的不稳定平衡点，可以设计稳定控制器来使直线一级倒立摆系统稳定在这个点。既然需要设计控制器稳定系统，那么就要考虑系统是否能控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析。
系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性判据。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据系统的线性模型进行分析。在对时不变系统进行定性分析时，一般要用到线性控制理论中的稳定性、能控性和能观性判据。
2.4.1 稳定性、能控性和能观性判据
1．系统的稳定性定义及判据
若控制系统在初始条件和扰动作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(平衡工作点)，则称该系统是稳定的。反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续振荡过程，或者输出无限制地偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。
??Ax?Bu的平衡状态t??0 李雅普诺夫稳定性判据：n阶线性时不变连续系统x渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。
这是李雅普诺夫第一法，又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。李雅普诺夫第二法的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。它是从能量
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观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达到最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态是不稳定的。如果一个系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定。
2．系统的能控性定义及判据
??Ax?Bu如果存在一个分段连续的输入u(t)，线性连续定常系统x能在有限的时
间区间?t0,tf内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任意终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。
若考虑线性定常系统的状态方程
??Ax?Bu，x(0)?x0，t?0 x?其中，x是状态向量，u是输入向量，A,B都是常数阵。可以根据矩阵A和B确定系统的能控性。
线性定常系统?t0??0,??完全能控的充要条件是下列命题中任何一个成立： (1)矩阵e?AtB的行在?0,??上线性独立。
(2)对于任何t0，t0?0和t1?t0，定义的格兰姆矩阵非奇异：
Wc(t0,t1)??e0t1A(t0??)BBeTAT(t0??)d?
(3)rank(B,AB,...,An?1B)?n。 (4)矩阵(sI?A)?1B的行线性独立。 3．系统的能观性定义及判据
如果对于任意给定的输入u，在有限观测时间tf>t0，使得根据?t0,tf期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观的。若系统的每一个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观的，或简称系统是能观的。
?2.4.2 基于状态方程的系统定性分析
摆杆竖直向上是直线倒立摆系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否能控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析。
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直线一级倒立摆系统的特征方程为det(?I?A)?0，经过计算得到系统的特征根
?。系统有一个极点在右半平面上，因此直线一级倒立为：?00?4.57864.5786摆系统是不稳定的。
对直线一级倒立摆系统线性状态方程，根据能控性和能观性判据得到：
rankBABA2BA3B?4
?rank?CCACA2?CA?3T?4
所以直线一级倒立摆系统是能控的和能观测的。
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第三章 一级倒立摆控制器的设计及理论仿真
3.1 基于LQR的一级倒立摆最优控制系统理论分析
1.概述
倒立摆系统是一个典型的非线性、不稳定的被控对象，它作为现代控制理论或教学的实验装置是非常典型的。倒立摆系统的控制问题被公认为控制理论中的一个典型问题，许多新的实时控制理论都通过倒立摆控制实验来加以验证。线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator—LQR）问题在现代控制理论中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重视。线性二次型（LQR）性能指标易于分析、处理和计算，而且通过线性二次型最优设计方法得到的倒立摆系统具有较好的鲁棒性与动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点，因而在实际的倒立摆控制系统设计中得到了广泛的应用。但是在使用该方法时，最优控制的效果取决于加权阵Q和R的选取，如果Q和R选取不当，则可能使求得的解不能满足实际系统的性能要求，就更谈不上“最优”了。通过倒立摆LQR最优控制系统设计与研究，并从实际控制效果出发，找出系统的动态响应与加权阵Q和R之间的变化规律，并应用于实际的系统当中。
2.LQR方法的原理
设给定线性定常系统的状态方程为
??AX?BU ?X ? (3-1)
?Y?CX?DU二次型性能指标函数：
1?TTJ?XQX?URUdt (3-2) ?02??Y为m维输出向量,A,B,C,DX 为n 维状态向量，U为r维输入向量，其中：
分别是n?n，n?r，m?n，m?n维常数矩阵。加权阵Q和R是用来平衡状态向量和输入向量的权重，Q是半正定阵即：Q?0, R阵是正定阵即：R?0。
如果该系统受到外界干扰而偏离零状态，应施加怎样的控制U*，才能使得系统回到零状态J附近，同时满足J达到最小，那么这时的U*就称之为最优控制。由最优控制理论可知，使式(3-2)取得最小值的最优控制律为:
*?1T U??RBPX??KX (3-3)
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式中P就是Riccati方程的解，K是线性最优反馈增益知阵。这时只需简单的求解代数Riccati方程:
ATP?PA?PBR?1BTP?Q?0
就可获得P值以及最优反馈增益矩阵K值。
(3-4)
K?R?1BTP??k1,k2,k3,k4?
T(3-5)
3.2 LQR控制器的设计与仿真
一般来说，Q和R都取为对角阵。目前确定加权矩阵Q和R的普遍方法是仿真试凑法，该方法的基本原理是:首先进行分析初步选取Q和R，通过计算机仿真判断其是否符合设计要求，如果符合要求则停止仿真，当前的Q和R值就是实际控制系统所需要的，然后利用计算机可非常方便地求出最优增益矩阵K，并把K代入到实际系统的控制器参数中，这样就完成了控制器的设计。如果不符合要求，则须重新选取Q和R值并重复进行，直至符合实际系统的性能指标要求为止。
经过选取Q和R后，决定取Q?diag?1010?，R?1。先利用Matlab来求取系统的反馈矩阵K。仿真程序如下： >> clear
>>A=[0 1 0 0;0 0 -1.5791 0;0 0 0 1;0 0 20.9638 0]; >>B=[0;1.3889;0;-2.5576]; >>C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
>>Q=[1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0]; >>R=1;
>> [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)
K =
-1.0000 -1.7384 -23.0125 -5.1358
P =
1.7384 1.5110 5.1358 1.2115 1.5110 2.1030 7.7165 1.8217 5.1358 7.7165 58.2287 13.1881 1.2115 1.8217 13.1881 2.9973
E =
-0.7746 + 0.7669i
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