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2010年高考数学试题分类汇编——三角函数
（2010上海文数）19.（本题满分12分） 已知0?x??2，化简：
x?lg(cosx?tanx?1?2sin2)?lg[2cos(x?)]?lg(1?sin2x).
22解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)?0．
（2010湖南文数）16. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?sin2x?2sin2x （I）求函数f(x)的最小正周期。
(II) 求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。
2
（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C??1 4 (I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。 （Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sinC=?2
1，及0＜C＜π 4所以sinC=10. 4ac?，得 sinAsinC（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理c=4
1
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由cos2C=2cosC-1=?2
1，J及0＜C＜π得 4cosC=±6 42
2
2
由余弦定理c=a+b-2abcosC，得 b±6b-12=0 2
解得 b=6或26 所以 b=6 b=6 c=4 或 c=4
（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）
?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD． 135【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的
应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】
由cos∠ADC=＞0，知B＜.
由已知得cosB=，sin∠ADC=.
从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.
由正弦定理得 ，所以=.
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）
在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
2
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1AD2?DC2?AC2100?36?196??, cos?=
2?10?622AD?DC
??ADC=120°, ?ADB=60°
在△ABD中，AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°，
ABAD?由正弦定理得,
sin?ADBsinBAD?sin?ADB10sin60???sinBsin45?10?2232?56.
?AB=
（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）
在?ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，
且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC （Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若sinB?sinC?1，试判断?ABC的形状.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2?(2b?c)b?(2c?b)c
即a?b?c?bc
由余弦定理得a?b?c?2bccosA 故cosA??2222221,A?120? 2222 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA?sinB?sinC?sinBsinC.
又sinB?sinC?1，得sinB?sinC?因为0??B?90?,0??C?90?，
1 2 故B?C
所以?ABC是等腰的钝角三角形。 （2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC.
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值. 解：
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c 即 a?b?c?bc
3
2222河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有2侵权必究
由余弦定理得 a?b?c?2bccosA 故 cosA??2221，A=120° ……6分 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
sinB?sinC?sinB?sin(60??B)
31cosB?sinB 22?sin(60??B)?故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分
（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）
?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?53，cos?ADC?，求AD。 135【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由?ADC与?B的差求出?BAD，根据同角关系及差角公式求出?BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。
（2010江西理数）17.（本小题满分12分）
??????f?x???1?cotx?sin2x?msin?x??sin?x??4??4?。 ?已知函数
??3??，??f?x?(1) 当m=0时，求在区间?84?上的取值范围；
f?a??35，求m的值。
(2) 当tana?2时，
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.
解：（1）当m=0时，f(x)?(1?cosx1?cos2x?sin2x)sin2x?sin2x?sinxcosx? sinx21??3??2?[2sin(2x?)?1]，由已知x?[,]，得2x??[?,1] 248442从而得：f(x)的值域为[0,1?2] 2 4
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cosx??)sin2x?msin(x?)sin(x?) sinx4411化简得：f(x)?[sin2x?(1?m)cos2x]?
222sinacosa2tana43??cos2a?当tan??2，得：sin2a?，，
sin2a?cos2a1?tan2a55（2）f(x)?(1?代入上式，m=-2.
（2010安徽文数）16、（本小题满分12分）
?ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA?12。 13???????? (Ⅰ)求AB?AC；
(Ⅱ)若c?b?1，求a的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由cosA?12得sinA的值，再根据?ABC面积13????????222公式得bc?156；直接求数量积AB?AC.由余弦定理a?b?c?2bccosA，代入已知
条件c?b?1，及bc?156求a的值. 解：由cosA?121225，得sinA?1?()?. 1313131bcsinA?30，∴bc?156. 2????????12?144. （Ⅰ）AB?AC?bccosA?156?13又
222（Ⅱ）a?b?c?2bccosA?(c?b)?2bc(1?cosA)?1?2?156?(1?212)?25， 13∴a?5.
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知?ABC的面积是30，cosA?12，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问13中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.
（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)
设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b+3c-3a=42bc . (Ⅰ) 求sinA的值；
2222sin(A?)sin(B?C?)44的值. (Ⅱ)求
1?cos2A?? 5