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（2010湖北理数） 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos(??11?x)cos(?x),g(x)?sin2x? 3324（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。
（2010福建理数）19．（本小题满分13分）
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，
轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度
? 16
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沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得
而小艇的最OC?103,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP?OC>AC，高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设?COD=?(0?
30vcos?所以10?103tan?1031533?，解得v?， ?,又v?30,故sin(?+30)?30vcos?sin(?+30?)23，于是 3从而30???<90?,由于??30?时，tan?取得最小值，且最小值为
当??30时，t??210?103tan?取得最小值，且最小值为。
330此时，在?OAB中，OA?OB?AB?20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
（2010安徽理数）16、（本小题满分12分）
设?ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且
?sin2A?sin(?B) sin(?B) ? sin2B。
33 (Ⅰ)求角A的值；
??????????(Ⅱ)若AB?AC?12,a?27，求b,c（其中b?c）。
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（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=?，∠ADE=?。
(1)该小组已经测得一组?、?的值，tan?=1.24，tan?=1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使?与?之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，?-?最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1）HHHh?tan??AD?，同理：AB?，BD?。
tan?ADtan?tan? AD—AB=DB，故得
HHhhtan?4?1.24????124。 ，解得：H?tan?tan?tan?tan??tan?1.24?1.20因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知d?AB，得tan??HHhH?h,tan????， dADDBd 18
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HH?h?tan??tan?hdhd tan(???)??d?2?HH?hH(H?h)1?tan??tan?1??d?H(H?h)d?dddH(H?h)d??2H(H?h)，（当且仅当d?H(H?h)?125?121?555时，取等号）
d故当d?555时，tan(???)最大。 因为0??????2，则0??????2，所以当d?555时，?-?最大。
故所求的d是555m。
（2010江苏卷）23.（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
b2?c2?a2（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数，
2bcb2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， b2?c2?a2∴必为有理数，∴cosA是有理数。
2bc（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；
当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数； ②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，
1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，
211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，
22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A
∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
AB2?AC2?BC2cosA?是有理数。
2AB?AC
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（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。
①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，
2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，
及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
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