习题四
4.1 在1到1000之间不能被2，5和11整除的整数有多少个？ 解：设S是这1000个数的集合，性质P2是可1是可被2整除，性质P被5整除，性质P3是可被11整除。
Ai?{x|x?S?x具有性质P},(i?1,2,3) i|A1|?1000/2?500，|A2|?1000/5?200，|A3|???1000/11???90 |A1?A2|?1000/10?100，
|A1?A3|???1000/22???45，
|A2?A3|???1000/55???18，|A1?A2?A3|???1000/110???9 ?|A1?A2?A3|?1000?(500?200?90)?(100?45?18)?9?364
4.3 一项对于A,B,C三个频道的收视调查表明，有20%的用户收看A，16%的用户收看B，14%的用户收看C，8%的用户收看A和B，5%的用户收看A和C，4%的用户收看B和C，2%的用户都看。求不收看A,B,C任何频道的用户百分比？
解|A1?A2?A3|?1?(20%?16%?14%)?(8%?5%?4%)?2%?65%
4.2 求1到1000之间的非完全平方，非完全立方，更不是非完全四次方的数有多少个？
解：设S是1000个数的集合， 性质P1是某数的完全平方， 性质P2是某数的完全立方， 性质P3是某数的完全四次方。
Ai?{x|x?S?x具有性质P},(ii?1,2,3) |A1|???1000???31，|A?32|??1000???10，|A?43|??1000???5|A?A612|???1000???3，|A1?A3|???41000???5|A122?A3|???1000???1， |A121?A2?A3|???1000???1 ?|A1?A2?A3|?1000?(31?10?5)?(3?5?1)?1?962
，4.4某杂志对100名大学新生的爱好进行调查，结果发现他们都喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，求有多少人只喜欢看电影？
解：由题意可得，P1,P2,P3分别表示喜欢看球赛、电影和戏剧的学生，相应的学生集合分别为A1,A2,A3，依题意，这100名大学生中每人至少有三种兴趣中的一种，则A1?A2?A3?0 所以可得既喜欢看球赛有喜欢看电影的人有
|A1?A2|?(58?38?52)?100?(18?16)?12?26
因此只喜欢看电影的人有A2?A1?A2?A2?A3?A1?A2?A3 =52-(26+16)+12=22人
4.5 某人有六位朋友，他跟这些朋友每一个都一起吃过晚餐12次，跟他们中任二位一起吃过6次晚餐，和任意三位一起吃过4次晚餐，和任意四位一起吃过3次晚餐，任意五位一起吃过2次晚餐，跟六位朋友全部一起吃过一次晚餐，另外，他自己在外吃过8次晚餐而没碰见任何一位朋友，问他共在外面吃过几次晚餐?
123456C6?12?C6?6?C6?4?C6?3?C6?2?C6?1?8?36
4.6 计算多重集S={4?a, 3?b, 4?c,6?d }的12-组合的个数？ 解：令T?{??a,??b,??c,??d}的所有12组合构成W??4?12?1??455
??12??其中|A|??4?7?1??120，|A1??7???4?8?1?， |?2?8??165??4?5?1??4?7?1?，|A4|???56， |A3|???120????5??7??4?3?1?|A1?A2|???20??3?，，
?4?2?1?|A1?A3|????102???4?3?1?|A2?A3|????203??，，
?4?0?1?|A1?A4|???1??0??4?1?1??4?0?1?， ， |A2?A4|???4|A?A|??1?34???1??0?|A1?A2?A3|?0
?|A1?A2?A3?A4|?455?(120?120?165?56)?(20?10?1?20?4)?50
4.7 计算多重集S={∞?a, 4?b, 5?c,6?d }的10-组合的个数？ 解：将??a，其他思想同上题。
?4?10?1?W???286 ??10??4?5?1??4?4?1?其中|A1|?0，|A2|???56，|A3|???35，???5??4??4?3?1?|A4|???20，|A1?A2|?0，|A1?A3|?0，|A1?A4|?0，??3?|A2?A3|?0，|A2?A4|?0，|A3?A4|?0，|A1?A2?A3|?0
?|A1?A2?A3?A4|?286?(56?35?20)?175
4.8 用容斥原理确定如下两个方程的整数解的个数。
1）x1+x2+x3=15，其中x1, x2, x3都是非负整数其都不大于7； 2） x1+x2+x3+x4=20，其中x1, x2, x3, x4都是正整数其都不大于9； 解：
1）x1?x2?x3?15?0?x1?7,0?x2?7,0?x3?7?与{7a,7b,7c}的15组合数相等，为28 2）
x1?x2?x3?x4?20?1?x1?9,1?x2?9,1?x3?9,1?x4?9?，因此用y1+1代替x1，y2+1代替x2，y3+1代替x3，y4+1代替x4有
y1?y2?y3?y4?16?0?y1?8,0?y2?8,0?y3?8,0?y4?8?与{8a,8b,8c,8d}的16组合数相等为489