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拓展：利用正n五边形的性质得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，从而判断出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的内角和，即可． 【解答】探究：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC=60°． ∴∠ACN=∠CBM=60°． 在△ACN和△CBM中，
∴△ACN≌△CBM． （2）解：∵△DCN≌△CBM， ∴∠CAN=∠BCM，
∵∠ABC=∠BMC+∠BCM，∠BAN=∠BAC+∠CAN，
∴∠CPN=∠BMC+∠BAN=∠BMC+∠BAC+∠CAN=∠BMC+∠BAC+∠BCM=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°， 故答案为120．
应用：将等边三角形换成正方形， 解：四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°． ∴∠MBC=∠DCN=120°． 在△DCN和△CBM中，
∴△DCN≌△CBM． ∴∠CDN=∠BCM， ∵∠BCM=∠PCN ∴∠CDN=∠PCN
在Rt△DCN中，∠CDN+∠CND=90°， ∴∠PCN+∠CND=90°， ∴∠CPN=90，
将等边三角形换成正五边形，
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五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=DC=108°． ∴∠MBC=∠DCN=72°． 在△DCN和△CBM中，
∴△DCN≌△CBM．
∴∠BMC=∠CND，∠BCM=∠CDN， ∵∠ABC=∠BMC+∠BCM=108°
∴∠CPN=180°﹣（∠CND+∠PCN）=180°﹣（∠CND+∠BCM）=180°﹣（∠BCM+∠BMC）=180°﹣108°=72°． 故答案为90，72． 拓展
解：方法和上面正五边形的方法一样，得到∠CPN=180°﹣（∠CND+∠PCN）=180°﹣（∠CND+∠BCM）=180°﹣（∠BCM+∠BMC）=180°﹣108°=72° 故答案为
．
【点评】本题是四边形的综合题，也是一道规律题，主要考查了正n边形的性质，涉及知识点比较多，如等边三角形、正方形、正五边形的性质，如由四边形ABCD是正方形，得到BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是充分利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和（或者三角形的内角和）．
23．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长； （2）求点R运动的路程长；
（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．
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【考点】相似形综合题． 【专题】综合题；分类讨论．
【分析】（1）易证△APQ是等边三角形，即可得到QR=PQ=AP=2t；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，易得点R运动的路程长是AG+CG，只需求出AG、CG就可解决问题；
（3）四边形APRQ与△ACD重叠部分图形可能是菱形，也可能是五边形，故需分情况讨论，然后运用割补法就可解决问题；
（4）由于直角顶点不确定，故需分情况讨论，只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°两种情况讨论，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠B=60°． ∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠ACB=60°，∠AQP=∠B=60°， ∴△APQ是等边三角形． ∴PQ=AP=2t．
∵△PQR是等边三角形， ∴QR=PQ=2t；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，
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则点R运动的路程长是AG+CG． 在Rt△AGC中，∠AGC=90°，sin60°=∴AG=2
，CG=2．
+2；
=
，cos60°=
=，AC=4，
∴点R运动的路程长2
（3）①当0＜t≤时，如图③，
S=S菱形APRQ=2×S正△APQ=2×②当＜t≤1时，如图④
×（2t）2=2t2；
PE=PC?sin∠PCE=（4﹣2t）×=2﹣t， ∴ER=PR﹣PE=2t﹣（2﹣t）=3t﹣2，
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∴EF=ER?tanR=（3t﹣2）
∴S=S菱形APRQ﹣S△REF =2
（3）t=或t=
提示：①当∠QRB=90°时，如图⑤，
t2﹣
（3t﹣2）2=﹣
t2+6
t﹣2
；
cos∠RQB==，
∴QB=2QR=2QA， ∴AB=3QA=6t=4， ∴t=；
②当∠RQB=90°时，如图⑥，
同理可得BC=3RC=3PC=3（4﹣2t）=4， ∴t=．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、等边三角形的面积公式（等边三角形的面积等于边长平方的
倍）等知识，运用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．