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24．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，点A、B的坐标分别是（﹣1，0）、（4，0），与y轴交于点C，点P在第一、二象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线BC于点D、E，设点P的横坐标为m，线段DE的长度为d． （1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）当点P在第一象限时，求d与m之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当PE=2DE时，求m的值；
（4）如图②，过点E作EF∥y轴交x轴于点F，直接写出四边形ODEF的周长不变时m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式，根据E点的纵坐标，可得E点的横坐标，根据两点间的距离，可得答案；
（3）根据PE与DE的关系，可得关于m的方程，根据解方程根据解方程，可得答案； （4）根据周长公式，可得答案． 【解答】解：（1）由题意，得
解得
∴这条抛物线对应的函数表达式是y=﹣x2+3x+4； （2）当x=0时，y=4． ∴点C的坐标是（0，4）．
设直线BC的函数关系式为y=kx+b． 由题意，得
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解得
∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+4， ∵PD∥x轴，
∴yP=yE=﹣m2+3m+4．． ∴xE=﹣m2+3m．
图①，
当0＜m＜3时，如图①，d=﹣m2+3m．
当3＜m＜4时，如图②
，d=m2﹣3m．
（3）当0＜m＜3时，DE=﹣m2+3m，PE=﹣m2+4m． ∵PE=2DE，
∴﹣m2+4m=2（﹣m2+3m）．
解得m1=0（不合题意，舍去），m2=2． 当3＜m＜4时，DE=m2﹣3m，PE=﹣m2+4m． ∵PE=2DE，
∴﹣m2+4m=2（m2﹣3m）． 解得m1=0（不合题意，舍去），m2=当PE=2DE时，m=2或m=
．
．
（4）﹣1＜m＜0或3＜m＜4．
解答如下：当0＜m＜3时，如图③，DE=﹣m2+3m，EF=﹣m2+3m+4． ∴C=2（﹣m2+3m+4﹣m2+3m）=﹣4m2+12m+8．
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当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，如图④、⑤，
DE=m2﹣3m，EF=﹣m2+3m+4． ∴C=2（﹣m2+3m+4+m2﹣3m）=8．
综上所述：四边形ODEF的周长不变时m的取值范围是﹣1＜m＜0或3＜m＜4．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴直线上点的纵坐标相等得出E点的纵坐标是解题关键；利用PE与DE的关系得出关于m的方程是解题关键；利用矩形的周长公式是解题关键．