抽样分布的研究
Y?X12?0 所以当y?0时,
F?y??0 Y当y?0时,
FY?y??P?X21?y?
?P??y?x1?y?
????y?1? 因此Y的分布函数为
???0??????????????????????????? FY?y????2??y??1??????????再对y求导，得Y的密度函数为
?0?????????????????????????????y?0?py???Y??????y?y??????????????y?0?? ????????????0?????????????????????????????y?0?????y?????e2?y????????????y?0? ??0??????????????????????????????y?0??1???????????????1?2????2???1?y??1??e?y2????????y?0???????2??所以
Y?X2??11?1?Ga?2,2??
同理
第11页（共33页） （2）?y?0??y?0? （3）（4）
抽样分布的研究
?11?Xi2?Ga?,????????????????i?2,....m?再由伽玛分布的可
?22?加性得
?m1?2 X12?...?Xm?Ga?,?
?22?即
?m1? V?Ga?,?
?22?所以V的密度函数为
（5）
7定理??2. 若X??2?m?,Y?N?0,1?且独立，则V?X?Y2服从?2?m?1?.证明:
由X??2?m?
由Y?N?0,1?得
Y2??2?1?
令Z?Y2得
?1???1?1?1z2pz?z????z2e2?1?????2?12
因为
V?X?Y2?X?Z 由卷积公式得
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抽样分布的研究
pV?v???????pX?v?z?pZ?z?dzm?1?21??mv?1??v?z?2??v?z?2e2 ?????????????0?m?????2?m?12?1???1?1?1z?2?z2e2dz ?1?????2?12?1?11??m?vv?1?2?????????????e2??v?z?2z2dz0?m??1????????2??2?令z?vt得
?1?1m?11??m1?1?v?12??222pV?v??ev?t?1?t?2dt
0?m??1????????2??2??1?1m?1???v2??1m?????????????e2v2??,?
?m??1??22????????2??2?m?12m?12?1?m?11???1?v2???v2e2 （v?0） （6）
?m?1?????2?所以
V??2?m?1? 定理3
?7?m?12. 设x1???xn是来自正态总体N????2n?1?s2??的样本，则2??2?n?1?.
?定理3表明:当正态分布的参数?2未知时，可以借助?2分布对其进行估计.
4.2 t 分布
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抽样分布的研究
关于t 分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉?西利?戈塞特（WillamSealy Gosset）在1900年进行的． 应用在估计呈正态分布的母群体之平均数． t分布是小样本分布，t分布适用于当总体标准差R未知时用样本标准差s代替总体标准差R，由样本平均数推断总体平均数．它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t检定的基础．学生t检定改进了Z检定，因为Z检定以母体标准差已知为前提．虽然在样本数量大（超过30个）时，可以应用Z检定来求得近似值，但Z检定用在小样本会产生很大的误差，因此必须改用学生t检定以求准确??． 8根据多变量分布函数的定义，这个概率等同于变量U和X在限制区域上的联合概率密度函数p(u, x)的双重积分，且积分区域为限制条件 u ≤ (x/n) 1/2. t下的区域，这个区域就是下图蓝色曲线以下的区域 图2 密度函数区域图 设随机变量X1与X2独立且X1~N?0,1?，X2~X2(n)，则称t = x1x2n的分布为 自由度为n的t分布，记为t~t(n). 下面导出t分布的密度函数??．由标准正态密度函数的对称性知，X1与-X1有相9同分布，从而t与-t有相同分布．这意味着：对任意实数y有 P(0 < t < y) = P(0 < -t < y) = P(-y < t < 0), 于是 第14页（共33页）
抽样分布的研究
P(0 < t < y) = 1/2P(t2 < y2).
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